4.5   חישוב הסתברויות באמצעות דיאגראמת עץ

 תרגילים


עד כה עסקנו בעיקר בחישוב הסתברויות של מאורעות בלתי תלויים. אך לעתים קרובות המאורעות דווקא תלויים זה בזה, ובכך אנו חייבים להתחשב כאשר מחשבים את הסתברויותיהם.

דיאגראמת עץ היא אמצעי גרפי פשוט ונוח לתיאור מאורעות שתלויים זה בזה והם תוצאות של ניסויים מקריים.
כל תרשים עץ כולל נקודה התחלתית המכונה "שורש", ו"ענפים" שיוצאים מהשורש ומובילים לנקודות שמייצגות מאורעות.

נמחיש את השימוש בדיאגראמת עץ באמצעות שתי דוגמאות.

דוגמה 1: קבוצת תלמידים טיילה במדבר, ועל-פי המפה שברשותם הם נמצאים עכשיו בצומת A (ראה תרשים).


 

מצומת זה יוצאים שבילים המובילים לאתרים: D, E, F, G, H. במקצת מהאתרים יש, אך הן אינן מסומנות על המפה. התלמידים, כמובן, מעוניינים להגיע לאתרים שבהם בארות מים. מחוסר ברירה, החליטה הקבוצה לבחור את דרכה על-ידי הטלת קובייה בכל אחת מהצמתים A, B, C בהתאם  לטבלה הבאה:

מיקום

הקבוצה

בוחרים

בשביל

כאשר בהטלת

הקובייה מקבלים

ההסתברות

המתאימה

A

AB

מספר זוגי

0.5

A

AC

מספר אי-זוגי

0.5

B

BD

מספר קטן מ- 5

4/6

B

BE

מספר גדול או שווה ל- 5

2/6

C

CF

מספר קטן מ- 3

2/6

C

CG

3

1/6

C

CH

מספר גדול מ- 3

3/6

 

התרשים הבא מתאר פעם נוספת את מפת השבילים, והפעם עם ההסתברות לבחירת כל שביל. בנוסף לכך, מסומנ ים בתרשים המיקומים של הבארות (שאינם מסומנים במפה שבידי התלמידים).

         

           א.         מהי ההסתברות שקבוצת התלמידים תגיע לבאר שבאתר E?      

         ב.         מהי ההסתברות שהקבוצה תגיע לבאר שבאתר F?

          ג.         מהי ההסתברות שהקבוצה תגיע לבאר שבאתר H?    

         ד.         מהי ההסתברות שהקבוצה תגיע לבאר מים?     

למעלה 

מסקנות והנחיות לבניית דיאגראמת עץ  
א.            כל דיאגראמת עץ מתחילה בנקודה אחת: שורש העץ.    
ב.           הבעיות שאנו פותרים באמצעות דיאגראמת עץ הן על-פי רוב רב-שלביות (הבעיה בדוגמה
           הקודמת הייתה 
דו-שלבית). מבנה העץ חייב לשקף את שלבי הבעיה. 
ג.          כדי להתקדם משלב מסוים לשלב הבא יש לקבל החלטה, ולפעול בהתאם. על-פי רוב ההחלטה
          מתקבלת 
על-סמך ניסוי מקרי.
ד.            ההחלטה הראשונה מתקבלת בשורש העץ (על-סמך ניסוי מקרי אופייני לבעיה). מספר הענפים
           היוצאים 
מהשורש הוא כמספר התוצאות האפשריות של הניסוי המקרי הזה.  
 
          על כל אחד מענפים אלה יש לרשום את ההסתברות המתאימה. בקצה כל ענף יש צומת, 
           המשקף את התוצאה 
של הניסוי המקרי המתאים.  אם הבעיה היא חד-שלבית, העץ מסתיים כאן;
           אם לא, התהליך נמשך והעץ מצמיח ענפים חדשים. 

ה.          
בשלב הבא, כל צומת חדש (שהתקבל בשלב הקודם) משמש נקודת יציאה לענפים חדשים
           שמתקבלים על-
סמך ניסוי מקרי חדש. גם הפעם, מספר הענפים היוצאים מכל צומת הוא כמספר
          התוצאות האפשריות של 
הניסוי המקרי. 
ו.            התהליך נמשך בדרך זו, עד להשלמת העץ.

דוגמה 2: לחנות מחשבים אישיים הגיע משלוח של 10 מחשבים ניידים, ומתוכם שניים פגומים (אך בעל החנות לא ידע על כך). עקב חשש שבמשלוח יש מחשבים פגומים, החליט בעל החנות לבדוק באקראי שני מחשבים (זה אחר זה), ולקבל את המשלוח אך ורק אם שני המחשבים תקינים.        
         א.         מהי ההסתברות שבעל החנות יגלה את שני המחשבים הפגומים?     
         ב.         מהי ההסתברות שבעל החנות יגלה מחשב פגום אחד בלבד?       
         ג.         מהי ההסתברות שבעל החנות יסכים לקבל את המשלוח למרות שיש בו שני מחשבים 
               פגומים?    

 פתרון: על-סמך המסקנות וההנחיות שהצגנו לעיל, קל לבנות את דיאגרמת העץ המתארת את מהלך הבדיקות:

למעלה

תרגילים

(1)  חברת תיירות מארגנת טיולים באוטובוסים שמושכרים משתי חברות: A ו- B.
       בעבור טיול מסוים  
30% מהאוטובוסים הושכרו מחברה A, והיתר מחברה B. ההסתברות
       שלאוטובוס מחברה
A תהיה תקלה בדרך היא 0.1, וההסתברות שלאוטובוס מחברה B תהיה 
       תקלה בדרך היא 0.12.       
      
תייר עולה לאוטובוס שבחר באופן מקרי. מהי ההסתברות שלאוטובוס זה תהיה תקלה בדרך?  

(2)  מכונה מייצרת מוצרים, ויש הסתברות של 0.05 שמוצר כלשהו מתוצרתה יהיה פגום. בסיום תהליך
       הייצור  כל מוצר נבדק על-ידי מערכת ממוחשבת לבדיקת איכות. המערכת היא חדשה ועדיין בשלבי
       ניסוי. לכן  יש הסתברות של 0.9 שהמערכת תפסול מוצר פגום, והסתברות של 0.2 שהמערכת
       תפסול מוצר תקין. איזה אחוז מכלל המוצרים ייפסלו בבדיקת איכות?    

(3)  על-פי ממצאים סטטיסטיים, ההסתברות שבחודש אפריל לאחר יום גשום יבוא עוד יום גשום היא 0.8
       
וההסתברות שלאחר יום נאה יבוא עוד יום נאה אף היא 0.8. היום 13 באפריל, וגשום. מהי
       ההסתברות שגם מחרתיים יהיה יום גשום?      

(4)  על שולחן מונחים שלושה ארנקים.     
      בארנק הראשון 5 שטרות של 10 דולר, 2 שטרות של 20 דולר ושטר אחד של 50 דולר.       
      בארנק השני 8 שטרות של 10 דולר, 6 שטרות של 20 דולר, ושטר אחד של 50 דולר. 
      בארנק השלישי 5 שטרות של 10 דולר, 10 שטרות של 20 דולר, ו- 4 שטרות של 50 דולר.            
     אדם בוחר ארנק באופן מקרי ושולף ממנו שטר.   
                     א.         מהי ההסתברות ששלף שטר של 10 דולר?       
                     ב.         מהי ההסתברות ששלף שטר של 20 דולר?       
                      ג.         מהי ההסתברות ששלף שטר של 50 דולר?    

(5)  בקופסה 5 כדורים לבנים ו- 3 כדורים שחורים. נוטלים שני כדורים מהקופסה בזה אחר זה באופן
       אקראי
וללא החזרה.  
         א.         מהי ההסתברות ששני הכדורים הם שחורים? 
         ב.         מהי ההסתברות שהכדור השני לבן?

(6)  משך הלימודים במכללה מסוימת הוא 3 שנים. ההסתברות לעבור מהשנה הראשונה לשנה השנייה 
       היא 0.7; 
ההסתברות לעבור מהשנה השנייה לשנה השלישית היא 0.8; וההסתברות לסיים בהצלחה
       את השנה השלישית היא 0.9.
         א.         מהי ההסתברות שתלמיד שלומד כעת בשנה הראשונה יסיים את לימודיו בהצלחה? 
         ב.         מהי ההסתברות שתלמיד יגיע לשנה השלישית, אך לא יסיים את לימודיו?          

(7)  מפעל שזקוק לשירותי ייעוץ ארגוני נוהג לפנות לעתים לחברת הייעוץ  ABC, ולעתים לחברת
       הייעוץ  
CDE. אם השירות ניתן על-ידי החברה  ABC  והיה לשביעות רצונו של מנהל המפעל,
       יש סיכוי של 
60% שהוא יפנה לחברה זו גם בפעם הבאה שהמפעל יזדקק לייעוץ ארגוני. 
      
אם השירות ניתן על-ידי החברה  CDE  והיה לשביעות רצונו של מנהל המפעל, 
       יש סיכוי של
80% שהוא יפנה לחברה זו גם בפעם הבאה שהמפעל יזדקק לייעוץ ארגוני.
      מהי ההסתברות שבפעם השלישית שהמפעל יזדקק לייעוץ ארגוני הוא יפנה לחברה  ABC?    
      נתון  שבפעם הראשונה נבחרה חברת הייעוץ באופן מקרי לחלוטין.     

(8)  במכללה מסוימת 50%  מכלל הסטודנטים הם בנים ו- 50% בנות.
      15% מהבנים הם דתיים ו- 8% מהבנות הן דתיות. 40% מהסטודנטים הדתיים (גם בנים וגם
      בנות) 
מתגוררים במרכז הארץ.  70% מהסטודנטים החילוניים (גם בנים וגם בנות) מתגוררים 
      במרכז הארץ.   
         א.         בוחרים סטודנט באופן מקרי. מהי ההסתברות שהוא בן שלא גר במרכז הארץ? 
         ב.         בוחרים סטודנט באופן מקרי. מהי ההסתברות שהוא דתי (בן או בת) שגר במרכז הארץ?

(9)  סטודנט שנוסע ברכבו למכללה יכול לנסוע בשני כבישים: A או B. ידוע שיש סיכוי של 70% שהוא
       ייסע 
בכביש A, ו- 30% שהוא ייסע בכביש B. לאורך כל אחד מהכבישים יש צומת מרומזר. 
       
הטבלה הבאה מסכמת את מצבי הרמזורים:
                                     

 

הסתברות

לאדום

הסתברות

לכתום

הסתברות

לירוק

הרמזור בכביש A

0.5

0.05

0.45

הרמזור בכביש B

0.7

0.04

0.26

 


             א.   מהי ההסתברות שהסטודנט לא יצטרך לעצור ברמזור בדרכו למכללה (מניחים שהסטודנט 
               מציית 
לחוקי התנועה ועובר בצומת רק באור ירוק)? 
   
         ב.   בזמן האחרון נפתח כביש חדש (כביש אגרה) ללא רמזורים המקשר את אזור מגוריו של 
               הסטודנט
למכללה. עכשיו יש הסתברות שווה שהסטודנט יבחר בכל אחד משלושת הכבישים.
               
מהי ההסתברות שהסטודנט לא יצטרך לעצור את רכבו בדרכו למכללה?     

(10)  סטטיסטיקאי מנסה לחזות את תוצאות הבחירות להסתדרות לאור תוצאות הבחירות לכנסת
         (שהתקיימו 
לפני כחודשיים). ידוע שבבחירות לכנסת הליכוד קיבל % 40, מפלגת העבודה % 30,
         והמפלגות האחרות (ביחד)  % 30 
מהקולות.    
  
       הסטטיסטיקאי חקר מדגמים מייצגים מבוחרי הליכוד, מפלגת העבודה, והמפלגות האחרות ומצא כי:

          1. מתוך בוחרי הליכוד לכנסת יצביעו בבחירות להסתדרות: % 60 בעד הליכוד ו- % 40 בעד
              מפלגת העבודה.
         
2. מתוך בוחרי מפלגת העבודה לכנסת יצביעו בבחירות להסתדרות: % 10 בעד הליכוד ו- % 90
              בעד מפלגת העבודה.
         
3. מתוך בוחרי המפלגות האחרות לכנסת יצביעו בבחירות להסתדרות: % 5 בעד הליכוד, % 30
              בעד מפלגת העבודה, ו- % 65 בעד מפלגות אחרות.        

לאור הממצאים האלה, מהי התחזית לבחירות להסתדרות: כמה אחוזים יצביעו בעד הליכוד, כמה 
אחוזים 
למפלגת עבודה, וכמה אחוזים למפלגות האחרות?     

למעלה