4.1  מושגים בתורת הקבוצות

4.1.1  מבוא
4.1.2  שוויון בין שתי קבוצות 
4.1.3  קבוצה חלקית ויחס ההכלה
4.1.4  הקבוצה הריקה
4.1.5  הקבוצה האוניברסלית
4.1.6  הדיאגראמה של ון  (Venn)
4.1.7  פעולות יסוד בקבוצות
4.1.8  התכונות היסודיות של הפעולות בקבוצות


4.1.1  מבוא



למעלה

4.1.2  שוויון בין שתי קבוצות 

4.1.3  קבוצה חלקית ויחס ההכלה

תרגילים 
(1) נתונות הקבוצות הבאות:  { כל המספרים השלמים מ- 1 עד 10 } = A
                                             { כל המספרים הזוגיים מ- 1 עד 10   } = B
    
                                         {כל המספרים האי-זוגיים מ- 1 עד 10} = C
                                             {כל המספרים הראשוניים מ- 1 עד 10} = D
                                             {כל המספרים השלמים שמתחלקים ב- 3 מ- 1 עד 10} = E

א.  הצג את כל אחת מהקבוצות הנתונות על-ידי רשימת כל איברי הקבוצה.  
ב.  רשום את כל יחסי ההכלה שבין הקבוצות הללו.

(2)  בקופסה מונחים מספר גדול של משולשים מכל הסוגים, גזורים מקרטון. נגדיר את הקבוצות הבאות:   
    {קבוצת כל המשולשים שווי השוקיים} = P                 {קבוצת כל המשולשים ישרי הזווית} = Q  
    {קבוצת כל המשולשים שווי הצלעות} = R      {קבוצת כל המשולשים ישרי זווית ושווי שוקיים} = S 
    רשום את כל יחסי ההכלה בין הקבוצות הללו. 


4.1.4  הקבוצה הריקה


4.1.5  הקבוצה האוניברסלית

בבעיות רבות בתורת הקבוצות מופיעות קבוצות בעלות תכונה אחת משותפת: הן כולן קבוצות חלקיות של "קבוצת-על" המכונה "קבוצה אוניברסלית".
דוגמה: סוציולוג מעוניין לחקור את הרכב אוכלוסיית הסטודנטים באוניברסיטה מסוימת. לשם כך הוא זקוק לנתונים על הקבוצות הבאות:
א.  קבוצת כל הסטודנטים הלומדים בפקולטה למדעי הטבע.
ב.   קבוצת כל הסטודנטים הלומדים בפקולטה למדעי החברה.
ג.   קבוצת כל הסטודנטים הלומדים לתואר משולב במדעי הטבע ובמדעי החברה.
ד.   קבוצת כל הסטודנטים הלומדים לתואר שני והם בני מיעוטים. 
ה.   קבוצת כל הדוקטורנטים באוניברסיטה שהם עולים חדשים.  

ברור שכל הקבוצות שהוזכרו כאן הן קבוצות חלקיות של קבוצת כל הסטודנטים הלומדים באוניברסיטה הזאת, ולכן זוהי הקבוצה האוניברסלית המתאימה לדוגמה זו. 

נהוג לסמן ב- U את הקבוצה האוניברסלית (קיצור המונח הלועזי: Universal set).

למעלה

4.1.6  הדיאגראמה של ון  (Venn)

הדיאגראמה של ון היא אמצעי גרפי פשוט ונוח לתיאור יחסים וקשרים בין קבוצות. בדיאגראמה זו הקבוצה האוניברסאלית מתוארת באמצעות מלבן, ואילו הקבוצות החלקיות שלה מתוארות באמצעות עיגולים בתוך המלבן.         


אם הקבוצות C ו- D הן קבוצות חלקיות של U וזרות (כלומר אין להן איברים משותפים), בדיאגרמת ון התיאור יהיה:

                                           

אם E ו- F הן קבוצות חלקיות של U, והן אינן קשורות ביחס של הכלה אך הן אינן זרות, התיאור יהיה:

                                            

להלן דוגמה קצת יותר מורכבת הממחישה את השימוש בדיאגרמה של ון: 
דוגמה: בקופסה מונחים מספר גדול של מרובעים מכל הסוגים, גזורים מקרטון. מגדירים את הקבוצות הבאות: 
             {קבוצת כל המרובעים שבקופסה} = U           {קבוצת כל הריבועים שבקופסה} = A             {קבוצת כל המעוינים שבקופסה} = B             {קבוצת כל המלבנים שבקופסה} = C       
             {קבוצת כל המקביליות שבקופסה} = D  

            

תרגילים
(1) באוניברסיטה מסוימת יש ארבע פקולטות: הפקולטה למדעי הטבע, הפקולטה למדעי הרוח, הפקולטה למדעי החברה והפקולטה להנדסה.
הסטודנטים יכולים להשיג תואר במדעי הטבע, במדעי הרוח, במדעי החברה, ובהנדסה. אך ניתן להשיג גם תואר משולב: סטודנט המעוניין בכך יכול לשלב לימודים במדעי הטבע ובמדעי הרוח, במדעי הטבע ובמדעי החברה, ומדעי החברה ובמדעי הרוח (אין אפשרות לצירופים נוספים).

נסמן ב- A את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה למדעי הטבע; ב- B את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה למדעי הרוח; ב- C את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה למדעי החברה; ב- D את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה להנדסה.
תאר באמצעות דיאגרמת ון את כל היחסים הקיימים בין הקבוצות A, B, C, D. 

(2)  עיין פעם נוספת בשאלה מס' 2 בתת-סעיף 4.1.3 ותאר באמצעות דיאגרמת ון את כל היחסים שקיימים בין הקבוצות P, Q, R, S.

למעלה

4.1.7   פעולות יסוד בקבוצות




למעלה

4.1.8   התכונות היסודיות של הפעולות בקבוצות



למעלה

תרגילים


למעלה