5.2  התפלגות בינומית


ההתפלגות הבינומית היא אחת החשובות בקרב ההתפלגויות של משתנה מקרי בדיד. נכיר אותה באמצעות דוגמה. 

דוגמה: מכונה מייצרת מוצרים, ויש הסתברות של 0.03 שמוצר כלשהו מתוצרתה יהיה פגום. מבקר איכות נוטל באופן מקרי מדגם של 4 מוצרים כדי לאתר את המוצרים הפגומים במדגם. מצא את פונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי X המשקף את מספר המוצרים הפגומים במדגם (נתון שאין קשר בין התקינות או אי-התקינות של המוצרים).

פתרון:  
מספר המוצרים הפגומים במדגם יכול להיות 0 , או 1 , או 2 , או 3 , או 4,  שהם הערכים האפשריים של המשתנה המקריX .  
מבקר האיכות מדביק תווית שנושאת את האות G (קיצור של  good , כלומר תקין) על כל מוצר תקין, ותווית שנושאת את האות F (קיצור של faulty , כלומר פגום) על כל מוצר פגום.
נציין עוד שההסתברות שמוצר כלשהו יהיה תקין היא: 1 – 0.03 = 0.97.  

א.  על-סמך הנתונים הללו קל לחשב את ההסתברות ש- 0 = X:    

מתברר שאפשר להציג את התוצאה הזאת גם באופן הבא:      
                                        

הסיבה לייצוג הזה (שלמראית עין הוא מסורבל ואף מיותר) תתברר בהמשך.          
ב.  באופן דומה אפשר לחשב את ההסתברות ש- 1 = X. הטבלה הבאה מסכמת את כל האפשרויות להימצאות     מוצר אחד פגום במדגם של 4 מוצרים:               

                                     
                                      

למעלה 



 



           

למעלה 

                        

 תרגילים 
(1)      על-פי נתונים סטטיסטיים, 2 מתוך 10 תאונות דרכים נגרמות בגלל חוסר ריכוז של
          הנהגים. מצא את 
ההסתברות שמתוך 8 תאונות דרכים בדיוק 3 נגרמות בגלל חוסר
          ריכוז של הנהגים.    

(2)      אחוז המצליחים במבחן בסטטיסטיקה במכללה מסוימת הוא 70%. נוטלים מדגם מקרי
    של 5 תלמידים שלומדים במכללה זו.
      א.  X הוא משתנה מקרי המשקף את מספר התלמידים במדגם שהצליחו במבחן זה.
           רשום את
 פונקצית הסתברות של X, וחשב את התוחלת והשונות של המשתנה
           הזה. 
      ב.  מהי ההסתברות שבדיוק שני תלמידים מהמדגם יצליחו במבחן? 

(3)       X הוא משתנה מקרי בעל התפלגות בינומית, עם תוחלת 3 ושונות 1.2 . חשב את
           ההסתברות ש-
X קטן מ-2.

(4)        מפעל מייצר רכיבים אלקטרוניים. הרכיבים נמכרים באריזות של 60 יחידות. ידוע 
            שהשונות של מספר 
הרכיבים הפגומים באריזה היא 2.85.    

            א.  חשב את ההסתברות שרכיב שנבחר באקראי מהאריזה יהיה פגום (ידוע
     שההסתברות שהרכיב
 יהיה פגום היא פחות מ- 0.3).    
ב.  חשב את ההסתברות שבאריזה אחת יהיו לפחות שני רכיבים פגומים.         

(5)        משה ניגש למבחן "אמריקאי" הכולל שש שאלות. לכל שאלה שלוש תשובות אפשריות, מתוכן רק אחת נכונה. את התשובה לשאלה הראשונה הוא ידע בוודאות, אך את התשובות ליתר השאלות הוא לא ידע, ולכן סימן את התשובות באופן מקרי לחלוטין. 
א.  מהי ההסתברות שיענה נכונה על יותר משלוש שאלות?  
ב.  מהי ההסתברות שיענה נכונה על שתי שאלות, לכל היותר?      

*(7)       במפעל למוצרי חשמל שני קווים לייצור סוללות חשמליות. הקו הראשון (A) מייצר פי שניים יותר סוללות  מהשני (B). ההסתברות שסוללה מתוצרת הקו הראשון תהיה פגומה היא 0.04, ומתוצרת הקו השני 0.02. הסוללות נארזות בקופסאות, ובכל קופסה 30 סוללות (הסוללות מתוצרת הקו הראשון נארזות בקופסאות נפרדות מאלה של הקו השני). קופסה נחשבת לתקינה אם מספר הסוללות הפגומות בה לא עולה על 2. מבקר איכות בוחר באקראי קופסה ובודק את תכולתה. מהי ההסתברות שהקופסה תעבור את מבחן ביקורת האיכות? (רמז: מומלץ להסתייע בדיאגראמת עץ.)

(8)        מנתונים סטטיסטיים עולה כי הסיכוי שאדם בריא, בגיל 60, יחיה עוד 20 שנה הוא 2/3.
חמישה אנשים בני 60 (בריאים), פונים לחברת הביטוח ורוכשים ביטוח חיים.
     א.  מהי ההסתברות שבמשך 20 שנה חברת הביטוח לא תצטרך לשלם בכלל 
          לאנשים אלה ? 
     ב.  מהי ההסתברות שבמשך 20 שנה חברת הביטוח תשלם לשניים מאנשים אלה,
          לכל היותר?        
     ג.  חשב את התוחלת וסטיית התקן של מספר האנשים (מהקבוצה הזאת) שיהיו 
         עדיין בחיים בתום התקופה 
של 20 שנה.       

 (9)    על-פי נתונים סטטיסטיים ההסתברות להולדת תינוק ממין זכר היא 0.55. מהי 
        ההסתברות שבמשפחה עם חמישה ילדים:   
      א.  כל הילדים יהיו בנות? 
      ב.  יהיו שלוש בנות ושני בנים? 
      ג.   יהיו שלוש בנות ושני בנים, אם ידוע שהבנים נולדו זה אחר זה, והבנות נולדו זו אחר זו.

(10)   במפעל לייצור בוכנות שלושה קווי ייצור. הקו הראשון מייצר 20%  מתפוקת המפעל, הקו
        השני
30%, והקו השלישי 50%. מתפוקת הקו הראשון 2% מהבוכנות פגומות; מתפוקת
       הקו השני
3% פגומות, ומתפוקת הקו השלישי 5% פגומות.
       *א.  מבקר איכות בוחר באקראי בוכנה מתוצרת המפעל. מהי ההסתברות שזו תהיה
             פגומה? (רמז: מומלץ להסתייע בדיאגראמת עץ.)   
        ב.  מבקר האיכות בוחר באקראי מדגם של 100 בוכנות.
             1.  מהי ההסתברות שכל הבוכנות תהיינה תקינות? 
             2.  מהי ההסתברות שהמדגם יכלול בוכנה אחת פגומה? 
             3.  מהי ההסתברות שהמדגם יכלול שתי בוכנות פגומות לכל היותר?    
        ג.  חשב את התוחלת וסטיית התקן של מספר הבוכנות הפגומות במדגם.   

(11)    מפעל מייצר דיסקים למחשבים אישיים. הדיסקים נארזים בחבילות של 50 יחידות. ידוע 
         שתוחלת
מספר הדיסקים הפגומים בחבילה היא 2.        
          א.  מהי ההסתברות שדיסק שנבחר באקראי מתוך חבילה יהיה פגום?  
          ב.  מהי ההסתברות שבחבילת דיסקים שנבחרה באקראי יהיו פחות משלושה דיסקים
              פגומים?

(12)    במפעל 10 מכונות זהות שמייצרות אותו מוצר, בקצב אחיד. מתוכן 9 מכונות מייצרות 
         מוצרים תקינים, אך המכונה העשירית מייצרת גם מוצרים פגומים. מתברר ש-
50% 
         מתפוקת המכונה הזאת פגומה. כל המוצרים (של כל המכונות) מאוחסנים ביחד בארגזים
         גדולים. 
        א.  בוחרים באקראי מוצר מתוך ארגז. מהי ההסתברות שהמוצר יהיה פגום? 
        ב.  בוחרים באקראי מדגם של 10 מוצרים. מהי ההסתברות שכל המוצרים במדגם יהיו
             תקינים? 
        ג.   מהי ההסתברות שבדיוק מוצר אחד מהמדגם יהיה פגום? 
        ד.   מהי ההסתברות שיותר ממוצר אחד במדגם יהיה פגום?  

למעלה