5.6   קירוב נורמלי להתפלגות בינומית  

תרגילים


לעתים קרובות אנו נדרשים לפתור בעיות הקשורות להתפלגות בינומית כאשר הפרמטרים
n ו- k (של ההתפלגות) הם מספרים גדולים.

דוגמה: מכונה מייצרת מוצרים, וידוע ש- 20% מהמוצרים פגומים. בוחרים מדגם מקרי של 100 מוצרים.

   א.  מהי ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים במדגם יהיה פחות מ- 15? 

   ב.   מהי ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים במדגם יהיה בין 15 ל- 26? 

   ג.   מהי ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים במדגם יהיה 22?  

 פתרון הבעיה בדרך המקובלת שלמדנו בסעיף 5.2  כרוך בחישובים רבים וכבדים.  ואולם, אפשר לפתור את הבעיה בדרך פשוטה, בעזרת ההתפלגות הנורמלית במשפט הבא:  

 העשרה

בקישור הבא מופיע יישומון (סימולציה קטנה) המדגים את הקירוב הנורמלי לבינומי. כנסו ליישומון, ונסו לחשב את סעיפי הדוגמה בעזרת היישומון. השוו בין התוצאה המדויקת לתוצאה המקורבת.

   למעלה

תרגילים 

(1)  במפעל שמייצר מקלטי טלוויזיה נמצא של- 2% מהמקלטים יש פגמים. מהי ההסתברות שמתוך 1200 מקלטים לפחות 30 יהיו פגומים?  

(2)  סטטיסטיקאי מצא שבמפעל מסוים 30% מתאונות העבודה מקורן בגורם האנושי. מתוך 84 תאונות עבודה במפעל זה, מהי ההסתברות שבין 20 ל- 30 תאונות יהיו כאלה שמקורן בגורם האנושי?

 (3)  ההסתברות שמכשיר אלקטרוני יתקלקל כשמפעילים אותו פחות מ- 1000 שעות היא 0.25. מהי ההסתברות שמתוך 200 מכשירים מסוג זה פחות מ- 45 יתקלקלו כשמפעילים אותם פחות מ- 1000 שעות?

*(6)  ההסתברות שחייל מאומן יפגע במטרה בירייה בודדת היא 0.8. ההסתברות שחייל לא מאומן יפגע במטרה בירייה בודדת היא 0.4. בחרו באקראי 100 חיילים מגדוד שבו 70% עברו אימון. כל חייל יורה במטווח 10 כדורים לעבר המטרה.  

        א.  מהו מספר הפגיעות הצפוי?

        ב.   מהו אחוז הפגיעות הצפוי במטווח?  

        ג.   מהי ההסתברות להשגת יותר מ- 700 פגיעות במטווח?    

 (7)  יצרן תרופות פיתח תרופה חדשה נגד כאבי ראש, והוא טוען שהתרופה יעילה ב- 80%  מהמקרים. במשרד הבריאות החליטו לבדוק את טענת היצרן, ונתנו את התרופה ל- 100 אנשים שסבלו מכאבי ראש (שנבחרו באקראי). הוחלט להעניק אישור לשיווק התרופה אם לפחות 75 אנשים מתוך המדגם ירגישו הקלה משמעותית מכאבי הראש.    

      א.  מהי ההסתברות שהיצרן לא יקבל את האישור של משרד הבריאות למרות שטענתו
      נכונה?

      ב.  מהי ההסתברות שהיצרן יקבל את האישור של משרד הבריאות, כאשר התרופה יעילה
      רק ב- 
70% מהמקרים?

 (8)  שחקן שש-בש מטיל שתי קוביות 180 פעמים. מהי ההסתברות שסכום התוצאות יהיה 7: 

      א.  לפחות 25 פעמים?

      ב.  בין 33 פעמים ל- 41 פעמים?

      ג.  בדיוק 30 פעמים?                

   למעלה