5.4  התפלגות נורמלית

5.4.1  משמעות ציון התקן 
5.4.2 התפלגות נורמלית סטנדרטית
5.4.3 התפלגות נורמלית כללית
5.4.4 חישוב אחוזונים באמצעות ההתפלגות הנורמלית
תרגילים

5.4.1 משמעות ציון התקן 

ציון תקן שייך לקבוצת המדדים למיקום יחסי. למדדים אלה יש חשיבות כשרוצים להשוות בין תצפיות השייכות להתפלגויות שונות.
דוגמה: דני קיבל ציון 70 באנגלית וציון 75 בהיסטוריה. האם ניתן לומר באופן חד-משמעי שציונו בהיסטוריה טוב יותר מציונו באנגלית? 

כדי להשיב על שאלה זו צריכים לדעת מהו הציון הממוצע הכיתתי ומהי סטיית התקן של הציונים בשני המקצועות הללו.

נניח שהציון הממוצע הכיתתי באנגלית היה 65 והציון הממוצע הכיתתי היה 85. אם כך פני הדברים, ברור שציונו של דני באנגלית טוב יותר מציונו בהיסטוריה (למרות ש- 70 < 75 ), משום שהציון של דני באנגלית הוא מעל הממוצע, ואילו ציונו בהיסטוריה מתחת לממוצע. 

 

כדי לפתור בעיות מסוג זה, הוחלט להשתמש במדד המכונה "ציון תקן".

 

 

 בהיסטוריה

        

 (לחץ לעבור לאקסל)


  

 למעלה 

5.4.2 התפלגות נורמאלית סטנדרטית

 

 

 

 למעלה 

 

 

 

 

    תחביר הפונקציה:   NORMSDIST(Z)

Z הוא הערך שבעבורו מבוקשת ההתפלגות המצטברת.

יש לשים לב: אםZ   אינו ערך מספרי, הפונקציה NORMSDIST מחזירה את ערך השגיאה !VALUE#.

יתרונות השימוש בפונקציה המובנית שבאקסל:

  1. ניתן לקבל בקלות את ההתפלגות המצטברת גם עבור ערכי Z שליליים.
  2. ניתן לקבל ערכים מדויקים של ההתפלגות המצטברת עבור ערכי Z שאינם מפורטים בטבלה, כמו למשל עבור הערך z = 1.677.

חיסרון בשימוש בפונקציה זו:

הפונקציה (כמו גם הטבלה) מאפשרת לקבל רק ערכים מצטברים של ההתפלגות, כלומר עד לערך Z מסוים. אם מעוניינים בשטח שמעל Z כלשהו או בין שני ערכי Z, יש לפעול לפי אותם הכללים שהוגדרו בעבור השימוש בטבלה.

פעילות:

חזרו אל הדוגמה העוסקת בטמפרטורה בחודש ינואר בחרמון, וחשבו את כל סעיפי הדוגמה בעזרת הפונקציה NORMSDIST שבאקסל. ודאו שאתם מקבלים את התוצאות שחושבו בעזרת הטבלה.

 למעלה 

5.4.3 התפלגות נורמלית כללית

 

 למעלה 

 

   פעילות:

חזרו אל הדוגמה העוסקת במשקל של אוכלוסיית הגברים, וחשבו את הסעיפים א' - ג'  בעזרת הפונקציה NORMDIST שבאקסל. ודאו שאתם מקבלים את התוצאות שחושבו בעזרת הטבלה.

למרות שההתפלגות הנורמלית היא התפלגות של משתנה מקרי רציף, הרי שלפעמים אפשר ליישם את ההתפלגות הזאת גם לפתרון של בעיות הקשורות להתפלגויות של משתנה מקרי בדיד.

ההסבר לכך הוא שבתנאים מסוימים ניתן להתייחס לערכים של משתנה מקרי בדיד כערכים בודדים של משתנה מקרי רציף.   

 דוגמה: מספר הלקוחות שמבקרים מדי יום במסעדה מסוימת מתפלג נורמלית, עם ממוצע 120 וסטיית תקן 20.        

   א.  מהי ההסתברות שמספר הלקוחות לא יעלה על 130 במשך היום?  

   ב.   מהי ההסתברות שמספר הלקוחות יהיה בין 100 ל- 125 מדי יום? 

   ג.   מהו מספר הלקוחות ביום כך שלפחות ב- 70% מימי הפעילות של המסעדה מספר הלקוחות יהיה
         גדול ממספר זה?   

 למעלה 

  5.4.4 חישוב אחוזונים באמצעות ההתפלגות הנורמלית  

 למעלה 

  (3)  במפעל ביטחוני נערכים ניסויים בטיל אוויר-אוויר מסוג חדש. נמצא שהזמן הדרוש לשריפת הדלק המניע את הטיל הוא משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת 4.76 שניות וסטיית תקן 0.04 שניות. מצאו את ההסתברות שזמן שריפת הדלק יהיה:      

      א.  פחות מ- 4.66 שניות.      

      ב.  יותר מ- 4.80 שניות.  

      ג.  בין 4.70 שניות  ל- 4.82 שניות.   

 (4)  מכונה אוטומטית מייצרת מכסים מפח (לפחיות של משקאות קלים). קוטר המכסה הוא משתנה מקרי נורמלי, עם סטיית תקן של 0.01 אינץ'. לאיזה קוטר נומינלי צריכים לכוון את המכונה כך שלא יותר מ- 5% מבין המכסים יהיו בעלי קוטר העולה על 3 אינץ'?

(5)  המשקל של אוכלוסיית גברים מסוימת מפולג נורמלית, עם ממוצע 80 ק"ג וסטיית תקן 5 ק"ג.

      א.  מהו אחוז הגברים שמשקלם עולה על 88 ק"ג?

      ב.  מהו אחוז הגברים שמשקלם בין 70 ק"ג ל- 90 ק"ג?

      ג.  מהו המשקל המינימלי של 35% הגברים השמנים ביותר באוכלוסיה זו?   

      ד.  חשב את התחום הבינרבעוני באוכלוסיה זו.       

 (6)  מכונה מייצרת צינורות מפלסטיק שאורכם הנומינלי 6 מ'. בפועל, אורך הצינורות מפולג נורמלית, עם תוחלת 6 מ' וסטיית תקן 0.06 מ'.  

      א.  לקוח מעוניין לרכוש כמות גדולה של צינורות מסוג זה, שאורכם בין 5.9 מ' ל- 6.1 מ'.
      איזה חלק מתוצרת המכונה תואם את דרישות הלקוח? בטאו את התשובה באחוזים.       

      ב.  מה צריכה להיות סטיית התקן של אורך הצינורות אם היצרן מעוניין ש- 99% מתוצרת
      המכונה תהיה בהתאם לדרישות הלקוח?      

(7)  אורך החיים של רכיב אלקטרוני מפולג נורמלית עם תוחלת של 50 ימים וסטיית תקן של 8 ימים.  מתוך 150,000 רכיבים מסוג זה:      

      א.  כמה רכיבים יוחלפו לפני 42 ימים?        

      ב.   כמה רכיבים יוחלפו אחרי 63 ימים? 

 (8)  למכללה מסוימת יש 600 מועמדים, אבל מקום ל- 150 בלבד. הוחלט לקבל את בעלי הציונים הגבוהים ביותר במבחן הכניסה. ידוע שהציונים במבחן זה מפולגים נורמלית, עם תוחלת 60 וסטיית תקן 10. החל מאיזה ציון יתקבל תלמיד למכללה?  

 (9)  א.  כדי לבצע ניסוי מסוים, טכנאי זקוק למכשיר אלקטרוני למשך 50 שעות. בחנויות למוצרי
      אלקטרוניקה אפשר להשיג שני סוגי מכשירים שמתאימים לניסוי זה. אורך החיים של
      המכשיר מסוג הראשון (מתוצרת ארצות הברית) מפולג נורמלית, עם תוחלת 40 שעות
      וסטיית תקן 6 שעות. אורך החיים של המכשיר מהסוג האחר (מתוצרת בריטניה) מפולג אף
      הוא נורמלית, עם תוחלת 48 שעות וסטיית תקן 3 שעות. ידוע שאין הבדל משמעותי במחירי
      המכשירים. איזה מכשיר עדיף לביצוע הניסוי? נמקו.  

      ב.  כדי לבצע ניסוי נוסף, דרושה מערכת המורכבת משני מכשירים (מהסוג הנ"ל) הקשורים
      בטור. לפיכך, המערכת פועלת אך ורק אם שני המכשירים תקינים. מהי ההסתברות
      שהמערכת תפעל לפחות 50 שעות אם שני המכשירים הם מתוצרת בריטניה?

      ג.  כדי לבצע עוד ניסוי, דרושה מערכת המורכבת משני מכשירים מהסוג הנ"ל, הקשורים
      במקביל. לפיכך, המערכת פועלת אם לפחות אחד המכשירים פועל באופן תקין. מהי
      ההסתברות שהמערכת תפעל לפחות 50 שעות אם אחד המכשירים הוא מתוצרת ארצות
      הברית והאחר מתוצרת בריטניה? (הערה: אין קשר בין תקינות המכשירים.)    

(10)  במושב A פרדס אשכוליות. הקוטר הממוצע של האשכוליות בעת הקטיף הוא 14 ס"מ, וסטיית התקן היא 2 ס"מ. התפלגות הקטרים היא נורמלית. חברי המושב החליטו ש- 15% מיבול האשכוליות (הקטנות ביותר) יחולקו בין החברים; 20%  מהיבול (הגדולות ביותר) ישווקו בחו"ל, והיתרה ( 65%) תשווק בארץ.  

         א.  מהו הקוטר המינימלי ומהו הקוטר המקסימלי של האשכוליות שנועדו לשיווק בארץ?

         ב.   גם במושב B פרדס אשכוליות. בפרדס זה, הקוטר הממוצע של האשכוליות בעת
         הקטיף הוא 12 ס"מ, וסטיית התקן היא 2 ס"מ. גם הפעם התפלגות הקטרים היא
         נורמלית. עקב התחרות בין שני המושבים, הוחלט שהקוטר המינימלי של האשכוליות
         שמושב
B ישלח לייצוא יהיה שווה לקוטר המינימלי של האשכוליות שמושב A שולח
         לייצוא. איזה אחוז מיבול האשכוליות של המושב
B יישלח לייצוא?

 (11)  ידוע שהתפלגות הציונים במבחן "מבוא לסטטיסטיקה" היא נורמלית, עם תוחלת 79 וסטיית תקן 20. 100 תלמידים מתכוננים למבחן זה, ושלושה תלמידים (A,B ,C ) מנסים לנבא את התוצאות על-סמך הנתונים הנ"ל.    

        *  תלמיד A טוען שכ- 5 תלמידים יקבלו ציון 95 לפחות.       

        *  תלמיד B טוען שכ- 95 תלמידים יקבלו ציונים בתחום 74-80.    

        *  תלמיד C טוען שכ- 21 תלמידים יקבלו ציון 95 לפחות. 

        אילו משלוש הטענות נכונות? נמקו.      

 *(12)  בעיר מסוימת נערך סקר שמטרתו לקבוע את התפלגות ההכנסות בקרב התושבים הבוגרים. לשם כך חילקו את האוכלוסיה הזאת לשלוש קבוצות: הקבוצה הראשונה כוללת את התושבים שמרוויחים עד 10,000 ש"ח לחודש; הקבוצה השנייה כוללת את התושבים שמרוויחים בין 10,000 ש"ח ל- 15,000 ש"ח לחודש; הקבוצה השלישית כוללת את התושבים שמרוויחים מעל 15,000 ש"ח לחודש. סטטיסטיקאי מצא ש- 40% מתושבי העיר שייכים לקבוצה הראשונה; 50% שייכים לקבוצה השנייה, ו- 10% שייכים לקבוצה השלישית. יתר על-כן, הוא קבע שהתפלגות ההכנסות בקרב התושבים הבוגרים היא נורמלית. מצאו את ההכנסה החודשית הממוצעת ואת סטיית התקן של ההכנסות בקרב תושבי העיר הבוגרים.     

 (13)  בבניין משרדים חדש הותקנו 600 נורות חשמליות. אורך החיים של הנורות מפולג נורמלית, עם תוחלת 450 שעות וסטיית תקן 80 שעות. מנהל התחזוקה של הבניין נוהג להחליף כל נורה שנשרפה בנורה חדשה מיד לאחר שהנורה הפסיקה לפעול.

        א.  מהו המספר המקורב של הנורות שיוחלפו בתוך 560 שעות ההפעלה הראשונות?  

        ב.  אחרי כמה שעות הפעלה יוחלפו 70% מהנורות?       

        ג.  כמה נורות יוחלפו בין 532 ו- 560 שעות הפעלה?        

 למעלה