פרק 5 : התפלגויות של משתנים מקריים 

 5.1 התפלגות של משתנה מקרי בדיד
5.2 התפלגות בינומית
5.3 משתנה מקרי רציף
5.4 התפלגות נורמלית
       5.4.1  משמעות ציון התקן 
       5.4.2 התפלגות נורמלית סטנדרטית
       5.4.3 התפלגות נורמלית כללית
       5.4.4 חישוב אחוזונים באמצעות ההתפלגות הנורמלית
5.5   משפט הגבול המרכזי
5.6   קירוב נורמלי להתפלגות בינומית  

     לתרגול האינטראקטיבי

5.1 התפלגות של משתנה מקרי בדיד 
בפרק הראשון למדנו שבשלבים המוקדמים של המחקר הסטטיסטי יש לאסוף נתונים על התופעה הנחקרת; שאפשר להתייחס לנתונים אלה כערכים של משתנה; ושיש להבחין בין משתנים כמותיים ובין משתנים איכותיים.   

משתנה כמותי בדיד מוגדר כמשתנה שערכיו מספרים בודדים (המשתנה לא יכול לקבל ערכים שבין המספרים הבודדים).

דוגמה: בסוכנות ליבוא ושיווק מכוניות, מספר המכוניות הנמכרות מדי יום נע בין 0 ל- 5. נסמן ב- X את המספר הזה. X הוא משתנה מקרי בדיד שמקבל את הערכים: 0, 1, 2, 3, 4, 5 באופן מקרי.

בהתאם לכך, נגדיר משתנה מקרי בדיד כמשתנה כמותי שמקבל ערכים בודדים באופן מקרי, מתוך מרחב המדגם של הבעיה.

מקובל לסמן באותיות גדולות (כגון X,Y,Z,… ) את המשתנים המקריים, ובאותיות קטנות (כגון x,y,z,…), או במספרים, את הערכים של המשתנים הללו.

לעתים קרובות אפשר לחשב את ההסתברות שמשתנה מקרי בדיד יקבל ערך מסוים על-סמך הנתונים שנאספו.

נניח שעל-סמך נתונים שנאספו במשך זמן רב מצאו שההסתברויות שהמשתנה המקרי X (הנ"ל) יקבל את הערכים 0, 1, 2, 3, 4, 5 (בהתאמה) הן: 

                                    

 למעלה 

 טבלה זו מכונה טבלת ההתפלגות של המשתנה המקרי הבדיד X.
לעתים קרובות אפשר לבטא את ההסתברויות של משתנה מקרי בדיד גם באמצעות נוסחה. במקרה זה, הנוסחה המתאימה היא:                

                                                                                  

 


 למעלה 

5.2  התפלגות בינומית
ההתפלגות הבינומית היא אחת החשובות בקרב ההתפלגויות של משתנה מקרי בדיד. נכיר אותה באמצעות דוגמה. 

דוגמה: מכונה מייצרת מוצרים, ויש הסתברות של 0.03 שמוצר כלשהו מתוצרתה יהיה פגום. מבקר איכות נוטל באופן מקרי מדגם של 4 מוצרים כדי לאתר את המוצרים הפגומים במדגם. מצא את פונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי X המשקף את מספר המוצרים הפגומים במדגם (נתון שאין קשר בין התקינות או אי-התקינות של המוצרים).

פתרון:  
מספר המוצרים הפגומים במדגם יכול להיות 0 , או 1 , או 2 , או 3 , או 4,  שהם הערכים האפשריים של המשתנה המקריX .  
מבקר האיכות מדביק תווית שנושאת את האות G (קיצור של  good , כלומר תקין) על כל מוצר תקין, ותווית שנושאת את האות F (קיצור של faulty , כלומר פגום) על כל מוצר פגום.
נציין עוד שההסתברות שמוצר כלשהו יהיה תקין היא: 1 – 0.03 = 0.97.  

א.  על-סמך הנתונים הללו קל לחשב את ההסתברות ש- 0 = X:    

מתברר שאפשר להציג את התוצאה הזאת גם באופן הבא:      
                                        

הסיבה לייצוג הזה (שלמראית עין הוא מסורבל ואף מיותר) תתברר בהמשך.          
ב.  באופן דומה אפשר לחשב את ההסתברות ש- 1 = X. הטבלה הבאה מסכמת את כל האפשרויות להימצאות     מוצר אחד פגום במדגם של 4 מוצרים:               

                                     
                                      

למעלה 

למעלה 

למעלה 

           

למעלה 

                        

 תרגילים 
(1)      על-פי נתונים סטטיסטיים, 2 מתוך 10 תאונות דרכים נגרמות בגלל חוסר ריכוז של
          הנהגים. מצא את 
ההסתברות שמתוך 8 תאונות דרכים בדיוק 3 נגרמות בגלל חוסר
          ריכוז של הנהגים.    

(2)      אחוז המצליחים במבחן בסטטיסטיקה במכללה מסוימת הוא 70%. נוטלים מדגם מקרי
    של 5 תלמידים שלומדים במכללה זו.
      א.  X הוא משתנה מקרי המשקף את מספר התלמידים במדגם שהצליחו במבחן זה.
           רשום את
 פונקצית הסתברות של X, וחשב את התוחלת והשונות של המשתנה
           הזה. 
      ב.  מהי ההסתברות שבדיוק שני תלמידים מהמדגם יצליחו במבחן? 

(3)       X הוא משתנה מקרי בעל התפלגות בינומית, עם תוחלת 3 ושונות 1.2 . חשב את
           ההסתברות ש-
X קטן מ-2.

(4)        מפעל מייצר רכיבים אלקטרוניים. הרכיבים נמכרים באריזות של 60 יחידות. ידוע 
            שהשונות של מספר 
הרכיבים הפגומים באריזה היא 2.85.    

            א.  חשב את ההסתברות שרכיב שנבחר באקראי מהאריזה יהיה פגום (ידוע
     שההסתברות שהרכיב
 יהיה פגום היא פחות מ- 0.3).    
ב.  חשב את ההסתברות שבאריזה אחת יהיו לפחות שני רכיבים פגומים.         

(5)        משה ניגש למבחן "אמריקאי" הכולל שש שאלות. לכל שאלה שלוש תשובות אפשריות, מתוכן רק אחת נכונה. את התשובה לשאלה הראשונה הוא ידע בוודאות, אך את התשובות ליתר השאלות הוא לא ידע, ולכן סימן את התשובות באופן מקרי לחלוטין. 
א.  מהי ההסתברות שיענה נכונה על יותר משלוש שאלות?  
ב.  מהי ההסתברות שיענה נכונה על שתי שאלות, לכל היותר?      

*(7)       במפעל למוצרי חשמל שני קווים לייצור סוללות חשמליות. הקו הראשון (A) מייצר פי שניים יותר סוללות  מהשני (B). ההסתברות שסוללה מתוצרת הקו הראשון תהיה פגומה היא 0.04, ומתוצרת הקו השני 0.02. הסוללות נארזות בקופסאות, ובכל קופסה 30 סוללות (הסוללות מתוצרת הקו הראשון נארזות בקופסאות נפרדות מאלה של הקו השני). קופסה נחשבת לתקינה אם מספר הסוללות הפגומות בה לא עולה על 2. מבקר איכות בוחר באקראי קופסה ובודק את תכולתה. מהי ההסתברות שהקופסה תעבור את מבחן ביקורת האיכות? (רמז: מומלץ להסתייע בדיאגראמת עץ.)

(8)        מנתונים סטטיסטיים עולה כי הסיכוי שאדם בריא, בגיל 60, יחיה עוד 20 שנה הוא 2/3.
חמישה אנשים בני 60 (בריאים), פונים לחברת הביטוח ורוכשים ביטוח חיים.
     א.  מהי ההסתברות שבמשך 20 שנה חברת הביטוח לא תצטרך לשלם בכלל 
          לאנשים אלה ? 
     ב.  מהי ההסתברות שבמשך 20 שנה חברת הביטוח תשלם לשניים מאנשים אלה,
          לכל היותר?        
     ג.  חשב את התוחלת וסטיית התקן של מספר האנשים (מהקבוצה הזאת) שיהיו 
         עדיין בחיים בתום התקופה 
של 20 שנה.       

 (9)    על-פי נתונים סטטיסטיים ההסתברות להולדת תינוק ממין זכר היא 0.55. מהי 
        ההסתברות שבמשפחה עם חמישה ילדים:   
      א.  כל הילדים יהיו בנות? 
      ב.  יהיו שלוש בנות ושני בנים? 
      ג.   יהיו שלוש בנות ושני בנים, אם ידוע שהבנים נולדו זה אחר זה, והבנות נולדו זו אחר זו.

(10)   במפעל לייצור בוכנות שלושה קווי ייצור. הקו הראשון מייצר 20%  מתפוקת המפעל, הקו
        השני
30%, והקו השלישי 50%. מתפוקת הקו הראשון 2% מהבוכנות פגומות; מתפוקת
       הקו השני
3% פגומות, ומתפוקת הקו השלישי 5% פגומות.
       *א.  מבקר איכות בוחר באקראי בוכנה מתוצרת המפעל. מהי ההסתברות שזו תהיה
             פגומה? (רמז: מומלץ להסתייע בדיאגראמת עץ.)   
        ב.  מבקר האיכות בוחר באקראי מדגם של 100 בוכנות.
             1.  מהי ההסתברות שכל הבוכנות תהיינה תקינות? 
             2.  מהי ההסתברות שהמדגם יכלול בוכנה אחת פגומה? 
             3.  מהי ההסתברות שהמדגם יכלול שתי בוכנות פגומות לכל היותר?    
        ג.  חשב את התוחלת וסטיית התקן של מספר הבוכנות הפגומות במדגם.   

(11)    מפעל מייצר דיסקים למחשבים אישיים. הדיסקים נארזים בחבילות של 50 יחידות. ידוע 
         שתוחלת
מספר הדיסקים הפגומים בחבילה היא 2.        
          א.  מהי ההסתברות שדיסק שנבחר באקראי מתוך חבילה יהיה פגום?  
          ב.  מהי ההסתברות שבחבילת דיסקים שנבחרה באקראי יהיו פחות משלושה דיסקים
              פגומים?

(12)    במפעל 10 מכונות זהות שמייצרות אותו מוצר, בקצב אחיד. מתוכן 9 מכונות מייצרות 
         מוצרים תקינים, אך המכונה העשירית מייצרת גם מוצרים פגומים. מתברר ש-
50% 
         מתפוקת המכונה הזאת פגומה. כל המוצרים (של כל המכונות) מאוחסנים ביחד בארגזים
         גדולים. 
        א.  בוחרים באקראי מוצר מתוך ארגז. מהי ההסתברות שהמוצר יהיה פגום? 
        ב.  בוחרים באקראי מדגם של 10 מוצרים. מהי ההסתברות שכל המוצרים במדגם יהיו
             תקינים? 
        ג.   מהי ההסתברות שבדיוק מוצר אחד מהמדגם יהיה פגום? 
        ד.   מהי ההסתברות שיותר ממוצר אחד במדגם יהיה פגום?  

למעלה 

    5.3   משתנה מקרי רציף
משתנה מקרי רציף הוא משתנה שיכול לקבל  באופן מקרי כל ערך שבין שני גבולות.
לדוגמה, אם גובהו של החייל הנמוך ביותר בצה"ל הוא 150 ס"מ, וגובהו של החייל הגבוה ביותר 210 ס"מ, הרי שהמשתנה המקרי X (המשקף את גובהו של חייל שנבחר באופן מקרי) הוא משתנה מקרי רציף שיכול לקבל כל ערך בין 150 ל- 210.

בסעיף 5.1, העוסק במשתנה מקרי בדיד, למדנו שאחד האמצעים לתיאור ההתפלגות של משתנה כזה הוא טבלת ההתפלגות. האם הדבר אפשרי גם בעבור משתנה מקרי רציף? התשובה היא לאו מוחלט, משום שמשתנה מקרי רציף מקבל אינסוף ערכים, באופן רציף.  

האמצעי המקובל ביותר לתיאור משתנה מקרי רציף הוא "פונקציית הצפיפות". זוהי פונקציה שתלויה במשתנה המקרי הרציף X ומאפיינת אותו באופן חד-משמעי. נסמן אותה ב- f(x). לפונקציה זו שלוש תכונות עיקריות: 


למעלה 

 5.4  התפלגות נורמלית
5.4.1 משמעות ציון התקן 
ציון תקן שייך לקבוצת המדדים למיקום יחסי. למדדים אלה יש חשיבות כשרוצים להשוות בין תצפיות השייכות להתפלגויות שונות.
דוגמה: דני קיבל ציון 70 באנגלית וציון 75 בהיסטוריה. האם ניתן לומר באופן חד-משמעי שציונו בהיסטוריה טוב יותר מציונו באנגלית? 

כדי להשיב על שאלה זו צריכים לדעת מהו הציון הממוצע הכיתתי ומהי סטיית התקן של הציונים בשני המקצועות הללו.

נניח שהציון הממוצע הכיתתי באנגלית היה 65 והציון הממוצע הכיתתי בהיסטוריה היה 85. אם כך פני הדברים, ברור שציונו של דני באנגלית טוב יותר מציונו בהיסטוריה (למרות ש- 70 < 75 ), משום שהציון של דני באנגלית הוא מעל הממוצע, ואילו ציונו בהיסטוריה מתחת לממוצע. 

 

כדי לפתור בעיות מסוג זה, הוחלט להשתמש במדד המכונה "ציון תקן".

        

למעלה 

 (לחץ לעבור לאקסל)


למעלה 

  

5.4.2 התפלגות נורמאלית סטנדרטית

 

 

   למעלה 

 

 

 

 

   למעלה 

    תחביר הפונקציה:   NORMSDIST(Z)

Z הוא הערך שבעבורו מבוקשת ההתפלגות המצטברת.

יש לשים לב: אםZ   אינו ערך מספרי, הפונקציה NORMSDIST מחזירה את ערך השגיאה !VALUE#.

יתרונות השימוש בפונקציה המובנית שבאקסל:

  1. ניתן לקבל בקלות את ההתפלגות המצטברת גם עבור ערכי Z שליליים.
  2. ניתן לקבל ערכים מדויקים של ההתפלגות המצטברת עבור ערכי Z שאינם מפורטים בטבלה, כמו למשל עבור הערך z = 1.677.

חיסרון בשימוש בפונקציה זו:

הפונקציה (כמו גם הטבלה) מאפשרת לקבל רק ערכים מצטברים של ההתפלגות, כלומר עד לערך Z מסוים. אם מעוניינים בשטח שמעל Z כלשהו או בין שני ערכי Z, יש לפעול לפי אותם הכללים שהוגדרו בעבור השימוש בטבלה.

פעילות:

חזרו אל הדוגמה העוסקת בטמפרטורה בחודש ינואר בחרמון, וחשבו את כל סעיפי הדוגמה בעזרת הפונקציה NORMSDIST שבאקסל. ודאו שאתם מקבלים את התוצאות שחושבו בעזרת הטבלה.

 למעלה 

5.4.3 התפלגות נורמלית כללית

   למעלה 

   למעלה 

 

   למעלה  

  פעילות:

חזרו אל הדוגמה העוסקת במשקל של אוכלוסיית הגברים, וחשבו את הסעיפים א' - ג'  בעזרת הפונקציה NORMDIST שבאקסל. ודאו שאתם מקבלים את התוצאות שחושבו בעזרת הטבלה.

למרות שההתפלגות הנורמלית היא התפלגות של משתנה מקרי רציף, הרי שלפעמים אפשר ליישם את ההתפלגות הזאת גם לפתרון של בעיות הקשורות להתפלגויות של משתנה מקרי בדיד.

ההסבר לכך הוא שבתנאים מסוימים ניתן להתייחס לערכים של משתנה מקרי בדיד כערכים בודדים של משתנה מקרי רציף.   

 דוגמה: מספר הלקוחות שמבקרים מדי יום במסעדה מסוימת מתפלג נורמלית, עם ממוצע 120 וסטיית תקן 20.        

   א.  מהי ההסתברות שמספר הלקוחות לא יעלה על 130 במשך היום?  

   ב.   מהי ההסתברות שמספר הלקוחות יהיה בין 100 ל- 125 מדי יום? 

   ג.   מהו מספר הלקוחות ביום כך שלפחות ב- 70% מימי הפעילות של המסעדה מספר הלקוחות יהיה
         גדול ממספר זה?   

    למעלה 

  5.4.4 חישוב אחוזונים באמצעות ההתפלגות הנורמלית  

  למעלה 

   למעלה  

  (3)  במפעל ביטחוני נערכים ניסויים בטיל אוויר-אוויר מסוג חדש. נמצא שהזמן הדרוש לשריפת הדלק המניע את הטיל הוא משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת 4.76 שניות וסטיית תקן 0.04 שניות. מצאו את ההסתברות שזמן שריפת הדלק יהיה:      

      א.  פחות מ- 4.66 שניות.      

      ב.  יותר מ- 4.80 שניות.  

      ג.  בין 4.70 שניות  ל- 4.82 שניות.   

 (4)  מכונה אוטומטית מייצרת מכסים מפח (לפחיות של משקאות קלים). קוטר המכסה הוא משתנה מקרי נורמלי, עם סטיית תקן של 0.01 אינץ'. לאיזה קוטר נומינלי צריכים לכוון את המכונה כך שלא יותר מ- 5% מבין המכסים יהיו בעלי קוטר העולה על 3 אינץ'?

(5)  המשקל של אוכלוסיית גברים מסוימת מפולג נורמלית, עם ממוצע 80 ק"ג וסטיית תקן 5 ק"ג.

      א.  מהו אחוז הגברים שמשקלם עולה על 88 ק"ג?

      ב.  מהו אחוז הגברים שמשקלם בין 70 ק"ג ל- 90 ק"ג?

      ג.  מהו המשקל המינימלי של 35% הגברים השמנים ביותר באוכלוסיה זו?   

      ד.  חשב את התחום הבינרבעוני באוכלוסיה זו.       

 (6)  מכונה מייצרת צינורות מפלסטיק שאורכם הנומינלי 6 מ'. בפועל, אורך הצינורות מפולג נורמלית, עם תוחלת 6 מ' וסטיית תקן 0.06 מ'.  

      א.  לקוח מעוניין לרכוש כמות גדולה של צינורות מסוג זה, שאורכם בין 5.9 מ' ל- 6.1 מ'.
      איזה חלק מתוצרת המכונה תואם את דרישות הלקוח? בטאו את התשובה באחוזים.       

      ב.  מה צריכה להיות סטיית התקן של אורך הצינורות אם היצרן מעוניין ש- 99% מתוצרת
      המכונה תהיה בהתאם לדרישות הלקוח?      

(7)  אורך החיים של רכיב אלקטרוני מפולג נורמלית עם תוחלת של 50 ימים וסטיית תקן של 8 ימים.  מתוך 150,000 רכיבים מסוג זה:      

      א.  כמה רכיבים יוחלפו לפני 42 ימים?        

      ב.   כמה רכיבים יוחלפו אחרי 63 ימים? 

 (8)  למכללה מסוימת יש 600 מועמדים, אבל מקום ל- 150 בלבד. הוחלט לקבל את בעלי הציונים הגבוהים ביותר במבחן הכניסה. ידוע שהציונים במבחן זה מפולגים נורמלית, עם תוחלת 60 וסטיית תקן 10. החל מאיזה ציון יתקבל תלמיד למכללה?  

 (9)  א.  כדי לבצע ניסוי מסוים, טכנאי זקוק למכשיר אלקטרוני למשך 50 שעות. בחנויות למוצרי
      אלקטרוניקה אפשר להשיג שני סוגי מכשירים שמתאימים לניסוי זה. אורך החיים של
      המכשיר מסוג הראשון (מתוצרת ארצות הברית) מפולג נורמלית, עם תוחלת 40 שעות
      וסטיית תקן 6 שעות. אורך החיים של המכשיר מהסוג האחר (מתוצרת בריטניה) מפולג אף
      הוא נורמלית, עם תוחלת 48 שעות וסטיית תקן 3 שעות. ידוע שאין הבדל משמעותי במחירי
      המכשירים. איזה מכשיר עדיף לביצוע הניסוי? נמקו.  

      ב.  כדי לבצע ניסוי נוסף, דרושה מערכת המורכבת משני מכשירים (מהסוג הנ"ל) הקשורים
      בטור. לפיכך, המערכת פועלת אך ורק אם שני המכשירים תקינים. מהי ההסתברות
      שהמערכת תפעל לפחות 50 שעות אם שני המכשירים הם מתוצרת בריטניה?

      ג.  כדי לבצע עוד ניסוי, דרושה מערכת המורכבת משני מכשירים מהסוג הנ"ל, הקשורים
      במקביל. לפיכך, המערכת פועלת אם לפחות אחד המכשירים פועל באופן תקין. מהי
      ההסתברות שהמערכת תפעל לפחות 50 שעות אם אחד המכשירים הוא מתוצרת ארצות
      הברית והאחר מתוצרת בריטניה? (הערה: אין קשר בין תקינות המכשירים.)    

(10)  במושב A פרדס אשכוליות. הקוטר הממוצע של האשכוליות בעת הקטיף הוא 14 ס"מ, וסטיית התקן היא 2 ס"מ. התפלגות הקטרים היא נורמלית. חברי המושב החליטו ש- 15% מיבול האשכוליות (הקטנות ביותר) יחולקו בין החברים; 20%  מהיבול (הגדולות ביותר) ישווקו בחו"ל, והיתרה ( 65%) תשווק בארץ.  

         א.  מהו הקוטר המינימלי ומהו הקוטר המקסימלי של האשכוליות שנועדו לשיווק בארץ?

         ב.   גם במושב B פרדס אשכוליות. בפרדס זה, הקוטר הממוצע של האשכוליות בעת
         הקטיף הוא 12 ס"מ, וסטיית התקן היא 2 ס"מ. גם הפעם התפלגות הקטרים היא
         נורמלית. עקב התחרות בין שני המושבים, הוחלט שהקוטר המינימלי של האשכוליות
         שמושב
B ישלח לייצוא יהיה שווה לקוטר המינימלי של האשכוליות שמושב A שולח
         לייצוא. איזה אחוז מיבול האשכוליות של המושב
B יישלח לייצוא?

 (11)  ידוע שהתפלגות הציונים במבחן "מבוא לסטטיסטיקה" היא נורמלית, עם תוחלת 79 וסטיית תקן 20. 100 תלמידים מתכוננים למבחן זה, ושלושה תלמידים (A,B ,C ) מנסים לנבא את התוצאות על-סמך הנתונים הנ"ל.    

        *  תלמיד A טוען שכ- 5 תלמידים יקבלו ציון 95 לפחות.       

        *  תלמיד B טוען שכ- 95 תלמידים יקבלו ציונים בתחום 74-80.    

        *  תלמיד C טוען שכ- 21 תלמידים יקבלו ציון 95 לפחות. 

        אילו משלוש הטענות נכונות? נמקו.      

 *(12)  בעיר מסוימת נערך סקר שמטרתו לקבוע את התפלגות ההכנסות בקרב התושבים הבוגרים. לשם כך חילקו את האוכלוסיה הזאת לשלוש קבוצות: הקבוצה הראשונה כוללת את התושבים שמרוויחים עד 10,000 ש"ח לחודש; הקבוצה השנייה כוללת את התושבים שמרוויחים בין 10,000 ש"ח ל- 15,000 ש"ח לחודש; הקבוצה השלישית כוללת את התושבים שמרוויחים מעל 15,000 ש"ח לחודש. סטטיסטיקאי מצא ש- 40% מתושבי העיר שייכים לקבוצה הראשונה; 50% שייכים לקבוצה השנייה, ו- 10% שייכים לקבוצה השלישית. יתר על-כן, הוא קבע שהתפלגות ההכנסות בקרב התושבים הבוגרים היא נורמלית. מצאו את ההכנסה החודשית הממוצעת ואת סטיית התקן של ההכנסות בקרב תושבי העיר הבוגרים.     

 (13)  בבניין משרדים חדש הותקנו 600 נורות חשמליות. אורך החיים של הנורות מפולג נורמלית, עם תוחלת 450 שעות וסטיית תקן 80 שעות. מנהל התחזוקה של הבניין נוהג להחליף כל נורה שנשרפה בנורה חדשה מיד לאחר שהנורה הפסיקה לפעול.

        א.  מהו המספר המקורב של הנורות שיוחלפו בתוך 560 שעות ההפעלה הראשונות?  

        ב.  אחרי כמה שעות הפעלה יוחלפו 70% מהנורות?       

        ג.  כמה נורות יוחלפו בין 532 ו- 560 שעות הפעלה?        

 למעלה 

    5.5   משפט הגבול המרכזי

משפט הגבול המרכזי מגלה את אחת התכונות המעניינות ביותר של המשתנים המקריים, ומצביע פעם נוספת על החשיבות הרבה של ההתפלגות הנורמלית.

נציג כאן שתי גרסאות של המשפט.

   למעלה 

  למעלה 

העשרה

בקישור הבא מופיע יישומון (סימולציה קטנה) המבהיר את משפט הגבול המרכזי. כנסו ליישומון, שחקו עם הערכים והסיקו מסקנות.

 תרגילים  

(1)  הנדסאי תעו"נ חקר את עבודתו של פקיד בנק ומצא שזמן השירות (כלומר הזמן שהוא מקדיש לטיפול בלקוח) הוא משתנה מקרי, עם תוחלת 3.2 דקות וסטיית תקן 1.6 דקות. בעבור מדגם מקרי של 64 לקוחות, מהי ההסתברות שזמן השירות הממוצע ללקוח במדגם: 

      א.  לא יעלה על 2.7 דקות.

      ב.   יהיה יותר מ- 3.5 דקות.

      ג.   יהיה בין 3.2 דקות ל- 3.4 דקות.   

 (2)  מכונה מייצרת נגדים חשמליים. ההתנגדות החשמלית של הנגדים היא משתנה מקרי עם תוחלת 40 אוהם וסטיית תקן 2 אוהם. בוחרים מדגם מקרי של 36 נגדים מתוצרת המכונה. מהי ההסתברות שסכום ההתנגדויות של הנגדים יהיה יותר מ- 1458 אוהם?

  למעלה 

  למעלה 

5.6   קירוב נורמלי להתפלגות בינומית  

לעתים קרובות אנו נדרשים לפתור בעיות הקשורות להתפלגות בינומית כאשר הפרמטרים n ו- k (של ההתפלגות) הם מספרים גדולים.

דוגמה: מכונה מייצרת מוצרים, וידוע ש- 20% מהמוצרים פגומים. בוחרים מדגם מקרי של 100 מוצרים.

   א.  מהי ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים במדגם יהיה פחות מ- 15? 

   ב.   מהי ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים במדגם יהיה בין 15 ל- 26? 

   ג.   מהי ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים במדגם יהיה 22?  

 פתרון הבעיה בדרך המקובלת שלמדנו בסעיף 5.2  כרוך בחישובים רבים וכבדים.  ואולם, אפשר לפתור את הבעיה בדרך פשוטה, בעזרת ההתפלגות הנורמלית במשפט הבא:  

 העשרה

בקישור הבא מופיע יישומון (סימולציה קטנה) המדגים את הקירוב הנורמלי לבינומי. כנסו ליישומון, ונסו לחשב את סעיפי הדוגמה בעזרת היישומון. השוו בין התוצאה המדויקת לתוצאה המקורבת.

   למעלה 

תרגילים 

(1)  במפעל שמייצר מקלטי טלוויזיה נמצא של- 2% מהמקלטים יש פגמים. מהי ההסתברות שמתוך 1200 מקלטים לפחות 30 יהיו פגומים?  

(2)  סטטיסטיקאי מצא שבמפעל מסוים 30% מתאונות העבודה מקורן בגורם האנושי. מתוך 84 תאונות עבודה במפעל זה, מהי ההסתברות שבין 20 ל- 30 תאונות יהיו כאלה שמקורן בגורם האנושי?

 (3)  ההסתברות שמכשיר אלקטרוני יתקלקל כשמפעילים אותו פחות מ- 1000 שעות היא 0.25. מהי ההסתברות שמתוך 200 מכשירים מסוג זה פחות מ- 45 יתקלקלו כשמפעילים אותם פחות מ- 1000 שעות?

*(6)  ההסתברות שחייל מאומן יפגע במטרה בירייה בודדת היא 0.8. ההסתברות שחייל לא מאומן יפגע במטרה בירייה בודדת היא 0.4. בחרו באקראי 100 חיילים מגדוד שבו 70% עברו אימון. כל חייל יורה במטווח 10 כדורים לעבר המטרה.  

        א.  מהו מספר הפגיעות הצפוי?

        ב.   מהו אחוז הפגיעות הצפוי במטווח?  

        ג.   מהי ההסתברות להשגת יותר מ- 700 פגיעות במטווח?    

 (7)  יצרן תרופות פיתח תרופה חדשה נגד כאבי ראש, והוא טוען שהתרופה יעילה ב- 80%  מהמקרים. במשרד הבריאות החליטו לבדוק את טענת היצרן, ונתנו את התרופה ל- 100 אנשים שסבלו מכאבי ראש (שנבחרו באקראי). הוחלט להעניק אישור לשיווק התרופה אם לפחות 75 אנשים מתוך המדגם ירגישו הקלה משמעותית מכאבי הראש.    

      א.  מהי ההסתברות שהיצרן לא יקבל את האישור של משרד הבריאות למרות שטענתו
      נכונה?

      ב.  מהי ההסתברות שהיצרן יקבל את האישור של משרד הבריאות, כאשר התרופה יעילה
      רק ב- 
70% מהמקרים?

 (8)  שחקן שש-בש מטיל שתי קוביות 180 פעמים. מהי ההסתברות שסכום התוצאות יהיה 7: 

      א.  לפחות 25 פעמים?

      ב.  בין 33 פעמים ל- 41 פעמים?

      ג.  בדיוק 30 פעמים?                

   למעלה 

לתרגול האינטראקטיבי