פרק 4 : יסודות ההסתברות

 4.1 מושגים בתורת הקבוצות
        4.1.1 
מבוא
        4.1.2  שוויון בין שתי קבוצות 
        4.1.3  קבוצה חלקית ויחס ההכלה
                   תרגילים
        4.1.4  הקבוצה הריקה
        4.1.5  הקבוצה האוניברסלית
        4.1.6  הדיאגראמה של ון  (Venn)
                   תרגילים
        4.1.7   פעולות יסוד בקבוצות
        4.1.8   התכונות היסודיות של הפעולות בקבוצות
                    תרגילים
4.2  קבוצות של מאורעות
       4.2.1  ניסויים מקריים, מרחב המדגם ומאורעות 
       4.2.2  פעולות בקבוצות של מאורעות
4.3   הסתברות של מאורע
        תרגילים
4.4   חוקי יסוד בתורת ההסתברות 
        4.4.1 
הסתברות המאורע המשלים
        4.4.2  חוק הכפל של המאורעות הבלתי תלויים
        4.4.3  הסתברות האיחוד של שני מאורעות
                   תרגילים
4.5   חישוב הסתברויות באמצעות דיאגראמת עץ
        תרגילים
       לתרגול האינטראקטיבי      

 4.1  מושגים בתורת הקבוצות
4.1.1  מבוא


למעלה

4.1.2  שוויון בין שתי קבוצות 

4.1.3  קבוצה חלקית ויחס ההכלה

תרגילים 
(1) נתונות הקבוצות הבאות:  { כל המספרים השלמים מ- 1 עד 10 } = A
                                             { כל המספרים הזוגיים מ- 1 עד 10   } = B
    
                                         {כל המספרים האי-זוגיים מ- 1 עד 10} = C
                                             {כל המספרים הראשוניים מ- 1 עד 10} = D
                                             {כל המספרים השלמים שמתחלקים ב- 3 מ- 1 עד 10} = E

א.  הצג את כל אחת מהקבוצות הנתונות על-ידי רשימת כל איברי הקבוצה.  
ב.  רשום את כל יחסי ההכלה שבין הקבוצות הללו.

(2)  בקופסה מונחים מספר גדול של משולשים מכל הסוגים, גזורים מקרטון. נגדיר את הקבוצות הבאות:   
    {קבוצת כל המשולשים שווי השוקיים} = P                 {קבוצת כל המשולשים ישרי הזווית} = Q  
    {קבוצת כל המשולשים שווי הצלעות} = R      {קבוצת כל המשולשים ישרי זווית ושווי שוקיים} = S 
    רשום את כל יחסי ההכלה בין הקבוצות הללו. 

למעלה


4.1.4  הקבוצה הריקה

4.1.5  הקבוצה האוניברסלית
בבעיות רבות בתורת הקבוצות מופיעות קבוצות בעלות תכונה אחת משותפת: הן כולן קבוצות חלקיות של "קבוצת-על" המכונה "קבוצה אוניברסלית".
דוגמה: סוציולוג מעוניין לחקור את הרכב אוכלוסיית הסטודנטים באוניברסיטה מסוימת. לשם כך הוא זקוק לנתונים על הקבוצות הבאות:
א.  קבוצת כל הסטודנטים הלומדים בפקולטה למדעי הטבע.
ב.   קבוצת כל הסטודנטים הלומדים בפקולטה למדעי החברה.
ג.   קבוצת כל הסטודנטים הלומדים לתואר משולב במדעי הטבע ובמדעי החברה.
ד.   קבוצת כל הסטודנטים הלומדים לתואר שני והם בני מיעוטים. 
ה.   קבוצת כל הדוקטורנטים באוניברסיטה שהם עולים חדשים.  

ברור שכל הקבוצות שהוזכרו כאן הן קבוצות חלקיות של קבוצת כל הסטודנטים הלומדים באוניברסיטה הזאת, ולכן זוהי הקבוצה האוניברסלית המתאימה לדוגמה זו. 

נהוג לסמן ב- U את הקבוצה האוניברסלית (קיצור המונח הלועזי: Universal set).

למעלה

4.1.6  הדיאגראמה של ון  (Venn)
הדיאגראמה של ון היא אמצעי גרפי פשוט ונוח לתיאור יחסים וקשרים בין קבוצות. בדיאגראמה זו הקבוצה האוניברסאלית מתוארת באמצעות מלבן, ואילו הקבוצות החלקיות שלה מתוארות באמצעות עיגולים בתוך המלבן.         


אם הקבוצות C ו- D הן קבוצות חלקיות של U וזרות (כלומר אין להן איברים משותפים), בדיאגרמת ון התיאור יהיה:

                                           

אם E ו- F הן קבוצות חלקיות של U, והן אינן קשורות ביחס של הכלה אך הן אינן זרות, התיאור יהיה:

                                            

להלן דוגמה קצת יותר מורכבת הממחישה את השימוש בדיאגרמה של ון: 
דוגמה: בקופסה מונחים מספר גדול של מרובעים מכל הסוגים, גזורים מקרטון. מגדירים את הקבוצות הבאות: 
             {קבוצת כל המרובעים שבקופסה} = U           {קבוצת כל הריבועים שבקופסה} = A             {קבוצת כל המעוינים שבקופסה} = B             {קבוצת כל המלבנים שבקופסה} = C       
             {קבוצת כל המקביליות שבקופסה} = D  

            

תרגילים
(1) באוניברסיטה מסוימת יש ארבע פקולטות: הפקולטה למדעי הטבע, הפקולטה למדעי הרוח, הפקולטה למדעי החברה והפקולטה להנדסה.
הסטודנטים יכולים להשיג תואר במדעי הטבע, במדעי הרוח, במדעי החברה, ובהנדסה. אך ניתן להשיג גם תואר משולב: סטודנט המעוניין בכך יכול לשלב לימודים במדעי הטבע ובמדעי הרוח, במדעי הטבע ובמדעי החברה, ומדעי החברה ובמדעי הרוח (אין אפשרות לצירופים נוספים).

נסמן ב- A את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה למדעי הטבע; ב- B את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה למדעי הרוח; ב- C את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה למדעי החברה; ב- D את קבוצת הסטודנטים שלומדים בפקולטה להנדסה.
תאר באמצעות דיאגרמת ון את כל היחסים הקיימים בין הקבוצות A, B, C, D. 

(2)  עיין פעם נוספת בשאלה מס' 2 בתת-סעיף 4.1.3 ותאר באמצעות דיאגרמת ון את כל היחסים שקיימים בין הקבוצות P, Q, R, S.

למעלה

4.1.7   פעולות יסוד בקבוצות


למעלה


למעלה

4.1.8   התכונות היסודיות של הפעולות בקבוצות


למעלה

תרגילים


למעלה

4.2  קבוצות של מאורעות
4.2.1  ניסויים מקריים, מרחב המדגם ומאורעות 

ניסוי מקרי  
בתורת ההסתברות יש חשיבות רבה לניסויים מקריים. ניסוי מקרי הוא ניסוי שאת תוצאותיו אי-אפשר לחזות מראש באופן מדויק. להלן מספר דוגמאות:  

 (1)  כאשר מטילים קובייה, אנו יודעים בוודאות שהתוצאה תהיה אחד המספרים: 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
        אך אי-אפשר לדעת מראש איזה מהם יעלה בגורל.
      

 (2)  מבקר איכות החליט לבדוק מדגם של 10 מוצרים במטרה לאתר את הפגומים שביניהם. 
        הוא יודע בוודאות 
שמספר הפגומים יהיה  0 , או 1 , או 2 , . . . , או 10 אך אי-אפשר לדעת את 
        מספרם בטרם בדיקת המוצרים.

 (3)  תלמיד ניגש למבחן בסטטיסטיקה. הציון שהוא יקבל יהיה אחד מתוך המספרים:
        100 , . . . ,3 , 2 , 1, 0  אך 
אי-אפשר לדעת מראש איזה מהם.     



למעלה
 
מאורעות
מושג המאורע הוא עוד מושג יסודי וחשוב בתורת ההסתברות. נבחין בין מאורע פשוט ובין מאורע מורכב.
מאורע פשוט הוא תוצאה בודדת של ניסוי מקרי. למשל:   
   * בדוגמה הראשונה (הנ"ל), "תוצאת ההטלה של הקובייה היא 5" היא מאורע פשוט.
   * בדוגמה השנייה "מספר המוצרים הפגומים במדגם הוא 3" היא מאורע פשוט.     
   * בדוגמה השלישית "ציונו של התלמיד במבחן בסטטיסטיקה הוא 78" היא עוד מאורע פשוט.

מאורע פשוט מכונה גם בשם נקודת מדגם, משום שבמקרים רבים אם נתאר את איברי מרחב המדגם על ציר המספרים יתברר שמאורע פשוט מתואר על-ידי נקודה על הציר הזה. 

מאורע מורכב הוא האיחוד של מספר מאורעות פשוטים. למשל:  
   *  בדוגמה הראשונה (הנ"ל) המאורע: "קבלת מספר אי-זוגי בהטלת הקובייה" הוא מאורע מורכב, משום  
      שהוא האיחוד של שלושה מאורעות פשוטים: {5 , 3 , 1}. 
   *  בדוגמה השנייה, המאורע: "במדגם המוצרים יש לא יותר מ- 4 מוצרים פגומים" הוא מאורע מורכב.
      משמעות הדבר שמספר המוצרים הפגומים במדגם הוא: 0 , או 1 , או 2 , או 3 , או 4 . לכן ניתן לתאר 
      את המאורע באמצעות הקבוצה  {4 , 3 , 2 , 1 , 0}.     

מכאן המסקנה שמאורע מורכב מתואר על-ידי מספר נקודות מדגם (לפחות שתי נקודות). 
בקרב המאורעות ניתן להבחין גם במאורע הבלתי אפשרי  ובמאורע הוודאי.
המאורע הבלתי אפשרי הוא מאורע שלא יכול להתרחש. למשל, בהטלת הקובייה, המאורע: "תוצאת ההטלה היא 8" הוא מאורע בלתי אפשרי.
הערה: מתברר שהמאורע הבלתי אפשרי (בניסוי מקרי מסוים) ממלא את תפקיד הקבוצה הריקה
שבתורת 
הקבוצות.
המאורע הוודאי הוא מאורע שמתרחש בוודאות מוחלטת. למשל, בהטלת הקובייה, המאורע: "תוצאת ההטלה היא אחד המספרים: 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1" הוא מאורע ודאי.  
הערה: המאורע הוודאי (בניסוי מקרי מסוים) זהה למרחב המדגם של אותו ניסוי.

למעלה

 4.2.2  פעולות בקבוצות של מאורעות
הפעולות בקבוצות של מאורעות דומות לאלה שבקרב הקבוצות הרגילות:  

 

למעלה

4.3 הסתברות של מאורע


למעלה

למעלה



למעלה

תרגילים
(1)  שחקן מטיל קובייה:  
       א.  מהי ההסתברות שהתוצאה תהיה 2?    
       ב.  מהי ההסתברות שהתוצאה תהיה מספר אי-זוגי?     
       ג.  מהי ההסתברות שהתוצאה תהיה מספר גדול מ- 2?    
       ד.  מהי ההסתברות שהתוצאה לא תהיה מספר ראשוני? 

(2)  בית תוכנה מעסיק 12 תוכניתנים, 8 מנתחי מערכות ו- 3 אנשי מינהלה. מתוך האנשים האלה
       בוחרים אחד 
באופן מקרי.         
       א.  מהי ההסתברות שהוא תוכניתן?       
       ב.  מהי ההסתברות שהוא אינו מנתח מערכות?   
       ג.  מהי ההסתברות שהוא איש תוכנה (כלומר תוכניתן או מנתח מערכות)?  

(3)  80 תלמידים ניגשו למבחן פסיכומטרי. ידוע ש- 15% מהם נכשלו במבחן. בוחרים תלמיד
       באופן  
מקרי.    
          א.         מהי ההסתברות שהתלמיד נכשל במבחן?   
          ב.         מהי ההסתברות שהתלמיד הצליח במבחן?     
          ג.         כמה תלמידים נכשלו במבחן? 
          ד.         כמה תלמידים הצליחו במבחן?   

(4)  בקופסה מונחים 5 רכיבים אלקטרוניים מסוג A, 8 רכיבים מסוג B, ו- 13 רכיבים מסוג C. בוחרים רכיב באופן מקרי.              
א.        
מהי ההסתברות שהרכיב יהיה מסוג C?    
ב.         מהי ההסתברות שהרכיב יהיה מסוג או B?   
ג.         מהי ההסתברות שהרכיב לא יהיה מסוג A                          
ד.         מהי ההסתברות שהרכיב יהיה מסוג או B או C?     
ה.         מהי ההסתברות שהרכיב יהיה מסוג D?   

(5)  קופסה כוללת רכיבים אלקטרוניים משני סוגים: A ו- B. מספר הרכיבים מסוג A גדול פי 3.7
       ממספר ה
רכיבים מסוג B. מוציאים מהקופסה רכיב אחד באופן מקרי.    
            א.         מהי ההסתברות שהרכיב יהיה מסוג  A?   
            ב.         מהי ההסתברות שהרכיב יהיה מסוג B?  

למעלה

למעלה

 (8)  בכנס בינלאומי לרפואה משתתפים 15 רופאים ישראלים, 18 רופאים איטלקים ו- 12 רופאים
        צרפתים. 
בקרב הישראלים יש 5 רופאי ילדים, 5 רופאים מנתחים ו- 5 רופאי לב. בקרב האיטלקים
        יש 4 רופאי ילדים, 6 רופאים מנתחים, 2 רופאי לב ו- 6 רופאי עור. בקרב הצרפתים יש 5 רופאי
        ילדים, 3 רופאים מנתחים ו- 4  רופאי עור.   
       בוחרים באקראי רופא מקרב המשתתפים בכנס:      
           א.         מהי ההסתברות שהוא יהיה רופא מנתח איטלקי?     
           ב.         מהי ההסתברות שהוא יהיה רופא לב?   
           ג.         מהי ההסתברות שהוא יהיה רופא עור ישראלי? 
 
         ד.         מהי ההסתברות שהוא לא יהיה רופא לב  צרפתי?  
 
         ה.         מהי ההסתברות שהוא יהיה רופא מנתח, או רופא לב, או רופא עור?    

(9)  שחקן שש-בש מטיל שתי קוביות: 
         א.         מהי ההסתברות שסכום התוצאות יהיה מספר זוגי?   
         ב.         מהי ההסתברות שסכום התוצאות יהיה מספר ראשוני? 
         ג.         מהי ההסתברות שסכום התוצאות יהיה כפולה של 3?   
         ד.         מהי ההסתברות שהפרש התוצאות יהיה מספר זוגי ושונה מאפס?   
         ה.         מהי ההסתברות שסכום התוצאות יהיה ריבוע מושלם (הכוונה למספרים כגון 4, 1, 9 וכו':
               כל אחד 
מהם הוא הריבוע של מספר אחר)?

(10)  בית תוכנה מעסיק תוכניתנים, מנתחי מערכות ועובדי מינהלה. מספר מנתחי המערכות גדול 
         פי 2 ממספר עובדי המנהלה ומספר התוכניתנים גדול פי 3 ממספר מנתחי המערכות. בוחרים
         באקראי אדם מקרב עובדי בית התוכנה:
          א.         מהי ההסתברות שנבחר עובד מנהלה? 
          ב.         מהי ההסתברות שנבחר תוכניתן? 
          ג.         מהי ההסתברות שנבחר מנתח מערכות?        

למעלה

 4.4   חוקי יסוד בתורת ההסתברות         
בסעיף הקודם עסקנו בחישוב הסתברויות של מאורעות. אך הכלים העומדים כרגע לרשותנו עדיין לא מאפשרים לפתור בעיות מורכבות בתורת ההסתברות.
בסעיף זה נציג את חוקי היסוד של תורת ההסתברות, ובהמשך יתברר שבעזרתם אפשר לפתור מגוון רחב של בעיות מורכבות בתחום זה.

 4.4.1  הסתברות המאורע המשלים
דוגמה: ליד ביתו של דני יש מגרש מלבני ששטחו 500 מ"ר, ובתוך המגרש מעגל ששטחו 180 מ"ר (ראה תרשים).

                                        

למעלה

4.4.2. חוק הכפל של המאורעות הבלתי תלויים

למעלה 



למעלה


4.4.3  הסתברות האיחוד של שני מאורעות

למעלה


למעלה

 

      

למעלה

 


למעלה


למעלה

למעלה

למעלה

 4.5   חישוב הסתברויות באמצעות דיאגראמת עץ
עד כה עסקנו בעיקר בחישוב הסתברויות של מאורעות בלתי תלויים. אך לעתים קרובות המאורעות דווקא תלויים זה בזה, ובכך אנו חייבים להתחשב כאשר מחשבים את הסתברויותיהם.

דיאגראמת עץ היא אמצעי גרפי פשוט ונוח לתיאור מאורעות שתלויים זה בזה והם תוצאות של ניסויים מקריים.
כל תרשים עץ כולל נקודה התחלתית המכונה "שורש", ו"ענפים" שיוצאים מהשורש ומובילים לנקודות שמייצגות מאורעות.

נמחיש את השימוש בדיאגראמת עץ באמצעות שתי דוגמאות.

דוגמה 1: קבוצת תלמידים טיילה במדבר, ועל-פי המפה שברשותם הם נמצאים עכשיו בצומת A (ראה תרשים).


למעלה
 

מצומת זה יוצאים שבילים המובילים לאתרים: D, E, F, G, H. במקצת מהאתרים יש, אך הן אינן מסומנות על המפה. התלמידים, כמובן, מעוניינים להגיע לאתרים שבהם בארות מים. מחוסר ברירה, החליטה הקבוצה לבחור את דרכה על-ידי הטלת קובייה בכל אחת מהצמתים A, B, C בהתאם  לטבלה הבאה:

מיקום

הקבוצה

בוחרים

בשביל

כאשר בהטלת

הקובייה מקבלים

ההסתברות

המתאימה

A

AB

מספר זוגי

0.5

A

AC

מספר אי-זוגי

0.5

B

BD

מספר קטן מ- 5

4/6

B

BE

מספר גדול או שווה ל- 5

2/6

C

CF

מספר קטן מ- 3

2/6

C

CG

3

1/6

C

CH

מספר גדול מ- 3

3/6

 

התרשים הבא מתאר פעם נוספת את מפת השבילים, והפעם עם ההסתברות לבחירת כל שביל. בנוסף לכך, מסומנ ים בתרשים המיקומים של הבארות (שאינם מסומנים במפה שבידי התלמידים).

         

           א.         מהי ההסתברות שקבוצת התלמידים תגיע לבאר שבאתר E?      

         ב.         מהי ההסתברות שהקבוצה תגיע לבאר שבאתר F?

          ג.         מהי ההסתברות שהקבוצה תגיע לבאר שבאתר H?    

         ד.         מהי ההסתברות שהקבוצה תגיע לבאר מים?     

 למעלה

 

מסקנות והנחיות לבניית דיאגראמת עץ  
א.            כל דיאגראמת עץ מתחילה בנקודה אחת: שורש העץ.    
ב.           הבעיות שאנו פותרים באמצעות דיאגראמת עץ הן על-פי רוב רב-שלביות (הבעיה בדוגמה
           הקודמת הייתה 
דו-שלבית). מבנה העץ חייב לשקף את שלבי הבעיה. 
ג.          כדי להתקדם משלב מסוים לשלב הבא יש לקבל החלטה, ולפעול בהתאם. על-פי רוב ההחלטה
          מתקבלת 
על-סמך ניסוי מקרי.
ד.            ההחלטה הראשונה מתקבלת בשורש העץ (על-סמך ניסוי מקרי אופייני לבעיה). מספר הענפים
           היוצאים 
מהשורש הוא כמספר התוצאות האפשריות של הניסוי המקרי הזה.  
 
          על כל אחד מענפים אלה יש לרשום את ההסתברות המתאימה. בקצה כל ענף יש צומת, 
           המשקף את התוצאה 
של הניסוי המקרי המתאים.  אם הבעיה היא חד-שלבית, העץ מסתיים כאן;
           אם לא, התהליך נמשך והעץ מצמיח ענפים חדשים. 

ה.          
בשלב הבא, כל צומת חדש (שהתקבל בשלב הקודם) משמש נקודת יציאה לענפים חדשים
           שמתקבלים על-
סמך ניסוי מקרי חדש. גם הפעם, מספר הענפים היוצאים מכל צומת הוא כמספר
          התוצאות האפשריות של 
הניסוי המקרי. 
ו.            התהליך נמשך בדרך זו, עד להשלמת העץ.

דוגמה 2: לחנות מחשבים אישיים הגיע משלוח של 10 מחשבים ניידים, ומתוכם שניים פגומים (אך בעל החנות לא ידע על כך). עקב חשש שבמשלוח יש מחשבים פגומים, החליט בעל החנות לבדוק באקראי שני מחשבים (זה אחר זה), ולקבל את המשלוח אך ורק אם שני המחשבים תקינים.        
         א.         מהי ההסתברות שבעל החנות יגלה את שני המחשבים הפגומים?     
         ב.         מהי ההסתברות שבעל החנות יגלה מחשב פגום אחד בלבד?       
         ג.         מהי ההסתברות שבעל החנות יסכים לקבל את המשלוח למרות שיש בו שני מחשבים 
               פגומים?    

 למעלה

פתרון: על-סמך המסקנות וההנחיות שהצגנו לעיל, קל לבנות את דיאגרמת העץ המתארת את מהלך הבדיקות:

למעלה

תרגילים
(1)  חברת תיירות מארגנת טיולים באוטובוסים שמושכרים משתי חברות: A ו- B.
       בעבור טיול מסוים  
30% מהאוטובוסים הושכרו מחברה A, והיתר מחברה B. ההסתברות
       שלאוטובוס מחברה
A תהיה תקלה בדרך היא 0.1, וההסתברות שלאוטובוס מחברה B תהיה 
       תקלה בדרך היא 0.12.       
      
תייר עולה לאוטובוס שבחר באופן מקרי. מהי ההסתברות שלאוטובוס זה תהיה תקלה בדרך?  

(2)  מכונה מייצרת מוצרים, ויש הסתברות של 0.05 שמוצר כלשהו מתוצרתה יהיה פגום. בסיום תהליך
       הייצור  כל מוצר נבדק על-ידי מערכת ממוחשבת לבדיקת איכות. המערכת היא חדשה ועדיין בשלבי
       ניסוי. לכן  יש הסתברות של 0.9 שהמערכת תפסול מוצר פגום, והסתברות של 0.2 שהמערכת
       תפסול מוצר תקין. איזה אחוז מכלל המוצרים ייפסלו בבדיקת איכות?    

(3)  על-פי ממצאים סטטיסטיים, ההסתברות שבחודש אפריל לאחר יום גשום יבוא עוד יום גשום היא 0.8
       
וההסתברות שלאחר יום נאה יבוא עוד יום נאה אף היא 0.8. היום 13 באפריל, וגשום. מהי
       ההסתברות שגם מחרתיים יהיה יום גשום?      

(4)  על שולחן מונחים שלושה ארנקים.     
      בארנק הראשון 5 שטרות של 10 דולר, 2 שטרות של 20 דולר ושטר אחד של 50 דולר.       
      בארנק השני 8 שטרות של 10 דולר, 6 שטרות של 20 דולר, ושטר אחד של 50 דולר. 
      בארנק השלישי 5 שטרות של 10 דולר, 10 שטרות של 20 דולר, ו- 4 שטרות של 50 דולר.            
     אדם בוחר ארנק באופן מקרי ושולף ממנו שטר.   
                     א.         מהי ההסתברות ששלף שטר של 10 דולר?       
                     ב.         מהי ההסתברות ששלף שטר של 20 דולר?       
                      ג.         מהי ההסתברות ששלף שטר של 50 דולר?    

(5)  בקופסה 5 כדורים לבנים ו- 3 כדורים שחורים. נוטלים שני כדורים מהקופסה בזה אחר זה באופן
       אקראי
וללא החזרה.  
         א.         מהי ההסתברות ששני הכדורים הם שחורים? 
         ב.         מהי ההסתברות שהכדור השני לבן?

(6)  משך הלימודים במכללה מסוימת הוא 3 שנים. ההסתברות לעבור מהשנה הראשונה לשנה השנייה 
       היא 0.7; 
ההסתברות לעבור מהשנה השנייה לשנה השלישית היא 0.8; וההסתברות לסיים בהצלחה
       את השנה השלישית היא 0.9.
         א.         מהי ההסתברות שתלמיד שלומד כעת בשנה הראשונה יסיים את לימודיו בהצלחה? 
         ב.         מהי ההסתברות שתלמיד יגיע לשנה השלישית, אך לא יסיים את לימודיו?          

(7)  מפעל שזקוק לשירותי ייעוץ ארגוני נוהג לפנות לעתים לחברת הייעוץ  ABC, ולעתים לחברת
       הייעוץ  
CDE. אם השירות ניתן על-ידי החברה  ABC  והיה לשביעות רצונו של מנהל המפעל,
       יש סיכוי של 
60% שהוא יפנה לחברה זו גם בפעם הבאה שהמפעל יזדקק לייעוץ ארגוני. 
      
אם השירות ניתן על-ידי החברה  CDE  והיה לשביעות רצונו של מנהל המפעל, 
       יש סיכוי של
80% שהוא יפנה לחברה זו גם בפעם הבאה שהמפעל יזדקק לייעוץ ארגוני.
      מהי ההסתברות שבפעם השלישית שהמפעל יזדקק לייעוץ ארגוני הוא יפנה לחברה  ABC?    
      נתון  שבפעם הראשונה נבחרה חברת הייעוץ באופן מקרי לחלוטין.     

(8)  במכללה מסוימת 50%  מכלל הסטודנטים הם בנים ו- 50% בנות.
      15% מהבנים הם דתיים ו- 8% מהבנות הן דתיות. 40% מהסטודנטים הדתיים (גם בנים וגם
      בנות) 
מתגוררים במרכז הארץ.  70% מהסטודנטים החילוניים (גם בנים וגם בנות) מתגוררים 
      במרכז הארץ.   
         א.         בוחרים סטודנט באופן מקרי. מהי ההסתברות שהוא בן שלא גר במרכז הארץ? 
         ב.         בוחרים סטודנט באופן מקרי. מהי ההסתברות שהוא דתי (בן או בת) שגר במרכז הארץ?

(9)  סטודנט שנוסע ברכבו למכללה יכול לנסוע בשני כבישים: A או B. ידוע שיש סיכוי של 70% שהוא
       ייסע 
בכביש A, ו- 30% שהוא ייסע בכביש B. לאורך כל אחד מהכבישים יש צומת מרומזר. 
       
הטבלה הבאה מסכמת את מצבי הרמזורים:
                                     

 

הסתברות

לאדום

הסתברות

לכתום

הסתברות

לירוק

הרמזור בכביש A

0.5

0.05

0.45

הרמזור בכביש B

0.7

0.04

0.26

 


             א.   מהי ההסתברות שהסטודנט לא יצטרך לעצור ברמזור בדרכו למכללה (מניחים שהסטודנט 
               מציית 
לחוקי התנועה ועובר בצומת רק באור ירוק)? 
   
         ב.   בזמן האחרון נפתח כביש חדש (כביש אגרה) ללא רמזורים המקשר את אזור מגוריו של 
               הסטודנט
למכללה. עכשיו יש הסתברות שווה שהסטודנט יבחר בכל אחד משלושת הכבישים.
               
מהי ההסתברות שהסטודנט לא יצטרך לעצור את רכבו בדרכו למכללה?     

(10)  סטטיסטיקאי מנסה לחזות את תוצאות הבחירות להסתדרות לאור תוצאות הבחירות לכנסת
         (שהתקיימו 
לפני כחודשיים). ידוע שבבחירות לכנסת הליכוד קיבל % 40, מפלגת העבודה % 30,
         והמפלגות האחרות (ביחד)  % 30 
מהקולות.    
  
       הסטטיסטיקאי חקר מדגמים מייצגים מבוחרי הליכוד, מפלגת העבודה, והמפלגות האחרות ומצא כי:

          1. מתוך בוחרי הליכוד לכנסת יצביעו בבחירות להסתדרות: % 60 בעד הליכוד ו- % 40 בעד
              מפלגת העבודה.
         
2. מתוך בוחרי מפלגת העבודה לכנסת יצביעו בבחירות להסתדרות: % 10 בעד הליכוד ו- % 90
              בעד מפלגת העבודה.
         
3. מתוך בוחרי המפלגות האחרות לכנסת יצביעו בבחירות להסתדרות: % 5 בעד הליכוד, % 30
              בעד מפלגת העבודה, ו- % 65 בעד מפלגות אחרות.        

לאור הממצאים האלה, מהי התחזית לבחירות להסתדרות: כמה אחוזים יצביעו בעד הליכוד, כמה 
אחוזים 
למפלגת עבודה, וכמה אחוזים למפלגות האחרות?     

לתרגול האינטראקטיבי

למעלה