פרק 1: מבוא

1.1 מהות מקצוע הסטטיסטיקה
1.2  שימושים עיקריים בסטטיסטיקה
1.3  מושגי יסוד בסטטיסטיקה
        1.3.1 אוכלוסיה ומדגם
        1.3.2 סוגי משתנים
        1.3.2.1 משתנה כמותי (בדיד/רציף) ומשתנה איכותי  
1.4  שלבי המחקר הסטטיסטי

 

1.1 מהות מקצוע הסטטיסטיקה


כדי לחקור תופעה מסוימת (ואין זה משנה מאיזה תחום) ,הכרחי לאסוף נתונים רבים ככל שאפשר
על התופעה. אך לעתים קרובות, אפילו כאשר הנתונים ברשותנו, לא תמיד קל לפרש אותם ולהסיק מהם את המסקנות הנכונות.

לפניכם דוגמה אופיינית: במפעל "תוצרת הארץ" מייצרים טלפונים סלולריים. בזמן האחרון הופיעה טכנולוגיה חדשה לייצור טלפונים סלולריים המשפרת באופן משמעותי את איכות הקליטה. אך ישום הטכנולוגיה החדשה כרוכה בהוצאה ניכרת, ועקב כך מוצרי החברה צפויים להתייקר. האם כדאי שהמפעל יאמץ את הטכנולוגיה החדשה?

 מנהל השיווק של המפעל החליט לפתור את הבעיה באופן הבא:לערוך סקר בקרב  500  לקוחות שרכשו טלפונים סלולריים תוצרת המפעל ולבקש מכל אחד מהם לדרג את איכות המוצר בסולם 5, 4, 3, 2, 1  ( 5 פירושו שהמוצר מעולה, 4 טוב מאוד , 3 טוב, 2 בינוני, 1 גרוע ).

אם לפחות % 75 מן הנשאלים יעניקו למוצרי המפעל ציון 3 ומעלה, תחליט הנהלת המפעל שאין צורך – לעת עתה- לאמץ את הטכנולוגיה החדשה. אחרת, המפעל יעבור לטכנולוגיה החדשה.

גישה זו לפתרון הבעיה מעוררת כמה שאלות:

א' האם מדגם של 500 לקוחות מספיק גדול כדי לקבל תוצאה אמינה, או שמא הוא גדול מדי, ואפשר להסתפק במדגם קטן יותר?


ב' כיצד יש לבחור את לקוחות המדגם? האם יש לבחור אותם באופן מקרי, או אולי כדאי לבחור 
אותם מאזורים שונים בארץ (הגליל, המרכז, הנגב) וגם מיישובים שונים ( עיר, עיירה, קיבוץ, מושב ) ?


ג' נניח שעל-פי תוצאות הסקר % 75 מהלקוחות שבמדגם העניקו למוצרי המפעל ציון 3 ומעלה. האם 
אפשר להסיק מכאן שתוצאות דומות היו מתקבלות אילו הסקר היה מקיף את כל הלקוחות?

על כל השאלות האלה ניתן לקבל תשובה בעזרת הסטטיסטיקה , המוגדרת כאוסף של שיטות  המאפשרות:
א'  איסוף שיטתי של נתונים.
ב'  עיבוד הנתונים והסקת מסקנות.
ג'  סיוע בקבלת החלטות. 

הערה: יש לציין שהשיטות הסטטיסטיות מתחשבות בכך שעל-פי רוב, הנתונים שנאספו אינם שלמים, ולעתים קרובות אף אינם מדויקים.

למעלה

1.2 שימושים עיקריים בסטטיסטיקה


מגוון היישומים והשימושים של הסטטיסטיקה הוא עצום ולהציג את כולם זאת משימה בלתי אפשרית.
נסתפק אפוא בכמה דוגמאות רלוונטיות :  

סקרים ומחקרים     
סקרים ומחקרים סטטיסטיים נעשים מדי יום, בתחומים רבים כגון: סקרים למדידת שביעות רצונם של הצרכנים ממוצרים שונים, מחקרים על אופן ההצבעה של ציבור הבוחרים, סקרים על הרגלי הלמידה של סטודנטים, ועוד.

בקרת איכות סטטיסטית           
אבטחת איכות המוצרים היא משימה חשובה ביותר בכל מפעל יצרני. באמצעות שיטות סטטיסטיות אפשר להבטיח איכות טובה של המוצרים – באמצעות בדיקות מדגמיות של המוצרים – ללא צורך בבדיקת כל מוצר.     

הנדסת ארגון ושיטות וניהול התפעול
אחת הבעיות החשובות בכל מפעל יצרני היא: כמה יחידות כדאי לייצר - מדי חודש – ממוצר מסוים? אם הביקוש למוצר ידוע מראש, הפתרון הוא פשוט. אך ברוב המקרים הביקוש לא ידוע במדויק. 

אפשר, בכל זאת, לפתור את הבעיה – אם כי לא באופן מדויק – באמצעות שיטות סטטיסטיות.
לשיטות סטטיסטיות יש תפקיד מרכזי גם בתחומים אחרים של הנדסת תעשיה וניהול, כגון: ניהול השיווק, ניהול פרויקטים, ניהול כוח – אדם, ניהול התחזוקה, ועוד.  

 למעלה

1.3  מושגי יסוד בסטטיסטיקה


 1.3.1 אוכלוסיה ומדגם

כשקראתם את הדוגמה בסעיף 1.1 ייתכן ששאלתם את עצמכם: מדוע מנהל השיווק לא החליט לראיין את כל הלקוחות שרכשו טלפונים סלולריים תוצרת המפעל? ברור שבדרך זו אפשר לקבל תשובה מדויקת לסוגיית שביעות הרצון של הלקוחות! התשובה לכך היא שעל-פי רוב, לכל ארגון ומפעל יש מגבלות של זמן ומגבלות תקציביות.

לכן ברוב המחקרים הסטטיסטיים מסתפקים במדגם מתוך האוכלוסיה.

  הגדרה: אוכלוסיה היא אוסף של עצמים בעלי תכונה משותפת, המהווה את הנושא של המחקר הסטטיסטי.

למשל, בדוגמא שבסעיף 1.1 האוכלוסיה היא האוסף של כל מכשירי הטלפון (מתוצרת המפעל) שנמכרו, ותכונתם המשותפת –המהווה את הנושא של  המחקר הסטטיסטי – היא איכותם (הנמדדת בסולם 1,2,3,4,5 )

הערה: אוכלוסיה (בסטטיסטיקה) איננה בהכרח אוכלוסיה של בני-אדם!

הגדרה: מדגם מאוכלוסיה הוא חלק מאותה אוכלוסיה.

יש מצבים שבהם בחירת איברי המדגם נעשית באופן מקרי לחלוטין, והדבר אינו משפיע על תוצאות המחקר. אך במקרים רבים אי-אפשר לבחור את איברי המדגם באופן מקרי, משום שדבר כזה עלול לגרום לתוצאות שגויות.

לדוגמה, נניח  שסטטיסטיקאי מעוניין לחזות את תוצאות הבחירות לראשות עיריית תל – אביב ולשם כך  החליט לראיין 1000 מתושבי העיר בעלי זכות בחירה. 

אין ספק שאם הסטטיסטיקאי יבחר את כל אנשי המדגם מקרב תושבי שכונת רמת-אביב שבצפון תל-אביב או את כולם משכונת התקווה (שבדרום העיר) הוא יקבל תוצאות מאוד לא אמינות, ולגמרי שונות זו מזו, והסיבה לכך ידועה: המצב הכלכלי-חברתי של תושבי רמת-אביב שונה לחלוטין מזה של תושבי שכונת התקווה ובהתאם לכך גם ההעדפות הפוליטיות של שתי האוכלוסיות.

לכן חובה לבחור את אנשי המדגם כך שיהיה בו ייצוג הולם לכל שכבות האוכלוסיה: עשירים, עניים, דתיים, חילוניים, תושבי המרכז והפריפריה, יהודים, ערבים, נוצרים, וכולי.

אם יבחר הסטטיסטיקאי את המדגם תוך התחשבות בכל הגורמים שהזכרנו, הוא יקבל  מדגם מייצג של אוכלוסית הבוחרים, היכול לשמש בסיס טוב לקבלת תוצאות אמינות.

כל מחקר סטטיסטי חוקר תכונה (או תכונות) של אוכלוסיה. התכונה חייבת להיות ספירה  או מדידה.
לעתים קרובות ניתן לבטא את התכונה באמצעות מספר.

למשל, בדוגמא שבסעיף 1.1 ניתן לבטא את איכות מכשירי הטלפון באמצעות המספרים:1,2,3,4,5 .

לעומת זאת, בדוגמה שעוסקת בתחזית תוצאות הבחירות לראשות עיריית תל - אביב, אפשר לבטא את ההעדפה הפוליטית של תושב בעל זכות בחירה רק באמצעות רשימת המועמדים:לראשות העירייה: משה, רוני, יעל, יצחק, וכולי.

מכאן המסקנה שעבור כל אוכלוסיה אפשר להתייחס לתוצאות המחקר הסטטיסטי כערכים של משתנה.

 

   למעלה

 1.3.2 סוגי משתנים   


1.3.2.1 משתנה כמותי (בדיד/רציף) ומשתנה איכותי    
לעתים קרובות המשתנה הוא  כמותי , אך ישנם גם מקרים כשהמשתנה אינו כמותי; משתנה כזה מכונה משתנה איכותי.

נציג בהמשך עוד כמה דוגמאות של משתנים כמותיים ואיכותיים:
משתנים כמותיים: אורך החיים של המצברים, משקל התפוזים, הציונים במבחן הפסיכומטרי, מספר העובדים בסניף של בנק, מספר התלמידים בכיתה, הטמפרטורה בחדר.

משתנים איכותיים: סוג הרכב (פרטי, מסחרי,אוטובוס),ארץ מוצא, אזרחות(ישראלית, צרפתית,וכולי), תפקיד בצבא, רחוב מגורים, התמחות של רופא (פנימי, מנתח, אורטופד, וכולי).

את המשתנים הכמותיים אפשר לחלק למשתנים בדידים ומשתנים רציפים. לפניכם שתי דוגמאות להמחשת הדבר:

דוגמה 1 : בבית - ספר מסוים 16 תלמידים מצטיינים בענפי ספורט שונים. מנהל בית – הספר ספר את מספר תעודות ההצטיינות שקיבל כל אחד מן תלמידם במשך השנה, והנה התוצאות:

                                                        2,2,3,3,3,3,4,5,5,5,5,5,6,7,7,7   

על-פי נתונים אלה, התלמיד הראשון ברשימה קיבל שתי תעודות הצטיינות וגם התלמיד השני קיבל שתי  תעודות הצטיינות; השלישי קיבל שלוש תעודות הצטיינות, וכך הלאה...

אפשר להתייחס לאיברי הסדרה הזאת כערכים של משתנה כמותי בדיד , משום שהוא יכול לקבל אך ורק ערכים שלמים.
באופן כללי נגדיר משתנה בדיד כמשתנה כמותי שערכיו מספרים בודדים. (המשתנה לא יכול לקבל ערכים שבין המספרים הבודדים).

דוגמה 2 : בכיתה י"ב של בית – ספר תיכון 20 תלמידים. להלן המשקל של כל תלמיד (בסדר עולה):

                               71.8, 71.4, 69.2, 67.8, 67, 66.1, 65.1, 62.7, 61.5, 60.3  

                                   83.7, 80, 79.6, 79, 78.9, 75.5, 74.8, 74.8, 72, 72    

על-פי הרשימה הזאת, משקלו של התלמיד הרזה ביותר הוא 60.3 ק"ג , ושל השמן ביותר הוא 83.7 ק"ג.  
ניתן להתיחס לאיברי הסדרה הזאת כערכים של משתנה כמותי רציף, משום שהוא יכול לקבל כל ערך (גם שלם וגם לא שלם) בין גבולות מסוימים. (במקרה זה, הגבולות הם 60 ק"ג ו- 84 ק"ג).  באופן כללי נגדיר משתנה רציף כמשתנה כמותי שיכול לקבל כל ערך בין שני כל ערך בין שני גבולות.                                                                                                                   

למעלה

 1.3.2.2   סולמות מדידה   


בסעיף 1.1 למדנו שסטטיסטיקה היא אוסף של שיטות לעיבוד מידע כמותי. עיבוד זה כולל – בין היתר – תיאור, ארגון וסיכום נתונים כמותיים. פעולות אלה נועדו להבליט את התכונות החשובות ביותר של הנתונים הסטטיסטיים כגון: מהו הנתון השכיח ביותר, מהו הערך הממוצע של הנתונים, מהי מידת הפיזור של הנתונים ועוד.   

אך בטרם שנעסוק בנושאים אלה, נעסוק באופן המדידה של הנתונים הסטטיסטיים.   
מדידה היא ייצוג מערכת נתונים על – ידי מערכת מספרים.  

להלן שתי דוגמאות רלוונטיות:   

דוגמה 1 :  בבעלות מר כהן מגרש מסומן ב –x   ובבעלות מר לוי מגרש מסומן ב – y . שני המגרשים סמוכים זה לזה. נסמן ב -  S(x) את שטח המגרש  x  וב - S(y)  את שטח המגרש  y . לשני המספרים הללו יש תכונות מסוימות שהחשובות בינהן: 

(1)      S(x) > S(y)   אם ורק אם שטח המגרש  x  גדול משטח המגרש  y .      

(2)      ) = S(x) + S(y)  x  וגם   S(y  כלומר אם נאחד את שני המגרשים, נקבל מגרש ששטחו שווה לסכום שטחי שני המגרשים.    

     למעשה, אנו מעוניינים שהסולם המספרי שמבטא את שטח המגרשים ייתן ביטוי לתכונות הבאות:

א.       סדר המספרים מבטא שטחים שונים בגודלם.   

ב.       העובדה שלשטח יש תכונה אדיטיבית (חיבורית), כלומר השטח שמתקבל על – ידי איחוד שני מגרשים שווה לסכום השטחים של כל מגרש בנפרד.

למעלה

דוגמה 2 : בתחרות של ריקודי עם משתתפות שלוש להקות:  z,y,x . חבר השופטים מדרג את הלהקות באמצעות הציונים שהוא מעניק לכל להקה. נסמן ב -  U(x) U(z),U(y), את הציונים שהוענקו ללהקות

  z,y,x  בהתאמה. אם מתקיים האי – שוויון הכפול: 

                                                                  U(x) > U(y) > U(z)     

משמעות הדבר שחבר השופטים העדיף את הלהקה  x על הלהקה  y  , את הלהקה  y  על הלהקה z ואת הלהקה  x  על הלהקה  z.
לכן הציון  
U(x)  גדול מ -  U(y)  ;  הציון   U(y)  גדול מ -  U(z) והציון  U(x)  גדול מ -  U(z)  .    

מערכות מספריות מהסוג שיצרנו בשתי הדוגמאות הנ"ל מהוות מודל של מערכת אמפירית. ( מערכת אמפירית היא מערכת של
נתונים שניתן לתצפת באופן ישיר, כגון: גובה התלמידים, משקל של חיילים, משכורת חודשית של עובדים במפעל ).

הקשרים בין העצמים של המערכת האמפירית חייבים להשתקף בקשרים שבין מערכת המספרים שמהווים את המודל; זהו עיקרון הייצוגיות.  

בדוגמה 1 הנ"ל, מערכת המספרים המשקפת את שטח המגרשים היא ייצוג הולם של מערכת אמפירית.
המספר המיוחס למגרש הראשון גדול מן המספר המיוחס למגרש השני אך ורק אם שטח המגרש הראשון גדול משטח המגרש השני; המספר המיוחס למגרש המורחב שווה לסכום המספרים המיוחסים לכל אחד משני המגרשים בנפרד.  
יתר על – כן , באמצעות מערכת המספרים הזאת ניתן לחשב בכמה שטח המגרש הראשון גדול משטח המגרש השני וגם פי כמה השטח של המגרש הראשון גדול משטח המגרש השני.

את בחירת המערכת המספרית מנחים חוקים שונים. כאן המקום לציין שאין שיטה אחידה לבחירת מערכת מספרית המשקפת מערכת אמפירית. כל מערכת מספרית כזאת מגדירה סולם מדידה.  

לדוגמה, המערכת המספרית שמשקפת את ההעדפות של להקות המחול (בדוגמה 2 הנ"ל) מגדירה סולם סדר (אורדינלי) באמצעות האי – שוויון הכפול:    

                                                                     U(x) > U(y) > U(z)              

אך באמצעות סולם כזה לא ניתן לדעת בכמה נתון אחד גדול מהשני ואף לא פי כמה הוא גדול ממנו.    

למעלה

סוגי סולמות
סולם שמי (נומינלי)  
דוגמה: בקבוצת כדורסל יש חמישה שחקנים. לכל שחקן ניתן מספר אישי, המתנוסס על חולצתו. על – פי רוב, המספרים הם: 5,4,3,2,1 אך,עקרונית, אפשר להעניק גם מספרים אחרים כגון: 125, 3, 0.7 , 13, 17.8 וזאת משום שבמקרה זה, המספרים משמשים אך ורק לזיהוי האיברים של מערכת אמפירית ולא ניתן להסיק מהמספרים שום תכונה נוספת של אברי המערכת האמפירית.

סולם מדידה כזה מכונה: סולם שמי.    

סולם סדר (אורדינלי)   
בסעיף הקודם ראינו שסולם סדר הוא מערכת מספרית שבתוכה יש סדר מסוים בקרב המספרים.

לדוגמה, בבנק מסוים יש 20 דרגות שכר ולכל אחד ניתן גם קוד מספרי: פקיד (1) , מנהל חשבונות (2) , יועץ השקעות (3) , מנהל סניף (4) , מנהל מחלקה (5) , . . . . , מנכ"ל (20) .

ידוע שככל שהקוד המספרי גדול יותר, גם השכר גבוה יותר. למשל: 3 > 2   ואמנם שכרו של יועץ השקעות גבוה משכרו של מנהל חשבונות, אך לא ניתן להסיק מכאן בכמה שכרו של הראשון גבוה משכרו של השני.    

כמו – כן, אין להסיק מכאן שההפרש בין שכרו של מנהל מחלקה (5) ומנהל סניף (4) שווה להפרש שבין שכרו  של מנהל חשבונות (2) ופקיד (1)  למרות העובדה ש - 5 – 4 = 2 – 1        

באופן דומה, לא ניתן להסיק ששכרו של המנכ"ל (20)  הוא פי 4 משכרו של מנהל מחלקה (5) למרות ש –  20 = 4 x 5  .      

סולם רווחים     
סולם רווחים הוא מערכת של מספרים שיש לה כל התכונות של סולם סדר ובנוסף לכך יש משמעות גם להפרש שבין האיברים השונים של המערכת.

נקודת האפס של משתנה בסולם רווחים אינה מוחלטת. למשל- כאשר מודדים מעלות חום בצלסיוס. במקרה זה אין משמעות ליחסים בין הערכים, לדוגמא 40 מעלות צלסיוס אינן חום פי שתיים מאשר 20 מעלות צלסיוס.

   סולם מנה  
סולם מנה הוא סולם רווחים שיש לו נקודת אפס קבועה ומוחלטת (שלא תלויה ברצוננו). בסולם זה יש משמעות לרווחים בין המשתנים וליחס ביניהם. ניתן לבצע טרנספורמציה לערכים של הוספה או הכפלה במספר קבוע. למשל משקל בק"ג או מדידת גובה בס"מ.   

כאשר מודדים גובה,  נקודת האפס מתאימה לגובה אפס, כלומר העדר גובה והדבר אינו תלוי באופן מדידת הגובה (בסנטימטרים או אינצ'ים).    

לעומת זאת, אם אנו מודדים טמפרטורה של גופים שונים במעלות צלסיוס, הרי ש – "נקודת האפס" (אפס מעלות צלסיוס) נקבעה באופן שרירותי על –ידי ממציא השיטה. לכן, מדידת טמפרטורה במעלות צלסיוס אינה מהווה סולם מנה. טענה זו תקפה גם כאשר מודדים את הטמפרטורה במעלות פרנהייט.

נציין עוד שאם הטמפרטורה של גוף היא אפס מעלות צלסיוס, הרי שהטמפרטורה של אותו גוף במעלות פרנהייט שונה מאפס.       

למעלה

 

1.4  שלבי המחקר הסטטיסטי


(1)  הצגת השאלה
השלב הראשון בכל מחקר סטטיסטי הוא הצגת השאלה הסטטיסטית, כלומר מה בעצם אנו רוצים לבדוק? שאלה  זו מתייחסת תמיד לאוכלוסיה מוגדרת.

נניח, לדוגמה, שסטטיסטיקאי מעוניין לבדוק את גובה מס ההכנסה בחודש יוני 2007 ששילמו אזרחי ישראל בעלי הכנסה כלשהי באותו חודש.

במקרה זה, האוכלוסיה הנחקרת היא:כל אזרחי ישראל בעלי הכנסה כלשהי בחודש יוני 2007 , והשאלה הסטטיסטית היא: מהו גובה מס ההכנסה שכל אחד שילם באותו חודש?

(2)  תכנון המחקר
ברוב המחקרים הסטטיסטיים אין אפשרות לבדוק את כל האוכלוסיה ולכן יש להסתפק במדגם מהאוכלוסיה. למשל, בדיקת מס ההכנסה בחודש יוני 2007 ששלמו אזרחי ישראל (בעלי הכנסה כלשהי באותו חודש) אינה פשוטה כלל וכלל, ויש לכך סיבות כגון:

    * רבבות מאזרחי ישראל מתגוררים בחו"ל דרך קבע והכנסתם החודשית אינה ידועה.
    * אזרחים רבים מצליחים להעלים חלק מהכנסותיהם ולכן אינם משלמים מס אמת.

כל העובדות הללו מצביעות על כך שבמחקר סטטיסטי זה, יש להסתפק במדגם בלבד.
בשלב תכנון המחקר, הסטטיסטיקאי צריך לקבוע את גודל המדגם, כך שהמדגם יהיה מייצג. 

(3) איסוף הנתונים
שלב זה כולל את עבודת  השטח  שמטרתו לאסוף את נתוני המדגם בהתאם לדרישות השלב הקודם.

(4) ארגון הנתונים בטבלאות ותרשימים
התמודדות ישירה בכמויות גדולות של נתונים גולמיים היא משימה קשה ביותר ולכן הסטטיסטיקאים נוהגים לארגן אותם בטבלאות ותרשימים.

אמצעים אלה מאפשרים לבצע ביתר קלות את השלבים הבאים של המחקר הסטטיסטי.

(5) עיבוד הנתונים על-ידי מדדים
מדד סטטיסטי הינו אמצעי לתמצות נתונים גולמיים על-ידי מספר. לכן:  
      מדד מוגדר כמספר המבטא תכונה אופיינית של נתונים סטטיסטיים.
      המדד המוכר ביותר הוא הממוצע האריתמטי.למשל, אם ציונו הממוצע של תלמיד בבחינות הבגרות   
      ההוא 84 , סביר להניח שמדובר בתלמיד טוב, למרות העובדה שאין אנו יודעים מה הם ציוניו בכל מקצוע. 

(6) הסקת מסקנות על האוכלוסיה על- סמך מדדי המדגם
נניח שמחקר סטטיסטי – המבוסס על מדגם של 2000 מאזרחי ישראל (בעלי הכנסה) - מראה שמס ההכנסה הממוצע שמשלם אזרח ישראלי בעל הכנסה הוא 2300 ₪ מדי חודש.  האם ניתן להסיק מכאן שתוצאה זו תקפה כלפי האוכלוסייה כולה? מתן תשובה לשאלה זו הינו אחד התפקידים המרכזיים של הסטטיסטיקאי.

  (7) הגשת התוצאות
מחקרים סטטיסטיים מתבצעים, בדרך-כלל, על-פי הזמנתם ומימונם של גופים שונים כגון: משרדים ממשלתיים, בנקים, חברות ביטוח, מפעלים, ועוד.לכן, בתום המחקר יגיש הסטטיסטיקאי את ממצאיו לגורם המתאים. 

נציין עוד שיש לפעמים מחקרים סטטיסטיים שבמסגרתם אפשרי לחקור את כל האוכלוסיה. נניח, לדוגמה, שאנו מעוניינים למצוא את מספר אזרחי ישראל שמקבלים קצבה מהמוסד לבטוח לאומי ואת  גובה הקצבה הממוצעת. 

במקרה זה אין צורך במדגם, מאחר שבמאגרים הממוחשבים של המוסד לבטוח לאומי יש רישום מדויק של כל האזרחים מקבלי קצבה (וגם גובה הקצבה של כל אחד).

לכן קל יחסית לחשב את גובה הקצבה הממוצעת.

הערה: במחקרים סטטיסטיים מסוג זה, אין צורך בשלב מס' 6 (הסקת מסקנות על האוכלוסיה על-סמך מדדי המדגם) משום שמדדי האוכלוסיה מחושבים באופן ישיר.

 למעלה