3.3 מדדי הפיזור וחישובם

3.3.1 התחום
3.3.2 התחום הבין-רבעוני
3.3.3 ממוצע הסטיות המוחלטות
3.3.4 השונות וסטיית התקן  
3.3.5יתרונות וחסרונות של מדדי הפיזור


3.3.1 התחום

בסעיף 3.2 נוכחנו לדעת שעל-פי-רוב מדדי המרכז מתארים בצורה די טובה את אופי הנתונים הסטטיסטיים, אך לא תמיד.
להמחשת הטענה, נתבונן בציוניהם של שני תלמידים במשך הסמסטר:

                                                         תלמיד א: 77, 75, 75, 73

                                                          תלמיד ב: 90, 80, 70, 60

ממוצע הציונים של כל אחד מהם הוא 75 (בדוק!). בכל זאת, פיזור הציונים של תלמיד א שונה לחלוטין מזה של תלמיד ב.
מכאן המסקנה, שכדי לקבל תמונה שלמה יותר על אופי הנתונים הסטטיסטיים יש צורך גם במדדי הפיזור.  
מדד הפיזור הפשוט ביותר הוא התחום (מסומן ב-R , קיצור המונח הלועזי  Range) .

הגדרה: התחום של סדרת נתונים סטטיסטיים הוא ההפרש בין האיבר הגדול ביותר והאיבר הקטן ביותר מקרב איברי הסדרה. ובצורת נוסחה:

                                            

  בהתאם לנוסחה זו, תחום הציונים של תלמיד א יהיה: 77-73 = 4 ותחום הציונים של תלמיד ב יהיה: 90-60 = 30.

למעלה

 3.3.2 התחום הבין-רבעוני

לעתים קרובות התחום אינו נותן תמונה נאמנה על מידת הפיזור של הנתונים.
לדוגמה: סטטיסטיקאי מעוניין לחקור את פיזור ההכנסות בקרב 270 משפחות ביישוב קהילתי.     
ביישוב זה יש מספר מצומצם של משפחות שמרוויחות מעל  60,000  ש"ח לחודש, ומספר מצומצם של משפחות מרוויחות פחות מ-4,000 ש"ח לחודש.

רוב המשפחות מרוויחות בין 7,000 ל-12,000 ש"ח לחודש. אם הסטטיסטיקאי יחשב את תחום ההכנסות על סמך כל הנתונים, הוא יקבל תמונה מעוותת של פיזור ההכנסות.

לכן החליטו הסטטיסטיקאים שבמצבים כאלה לא רצוי להתחשב בערכים הקיצוניים של המשתנה.
מדד הפיזור המתאים לבעיה זו הוא התחום הבין-רבעוני. כדי להגדירו באופן מדויק, נגדיר תחילה את המונחים הבאים:

 

  למעלה

 

 

 למעלה

3.3.3 ממוצע הסטיות המוחלטות

למעלה

3.3.4 השונות וסטיית התקן

למעלה

              

 (לחץ לעבור לאקסל)

למעלה

 

למעלה

 

3.3.5  יתרונות וחסרונות של מדדי הפיזור

     א.  התחום
                       יתרונות: * קל לחישוב.
                                       * ניתן לחשב אותו תמיד.

                      חסרונות: * אינו מבוסס על כל הנתונים.
                                       * מושפע מערכים קיצוניים של המשתנה.

     ב.  התחום הבין-רבעוני      
                      יתרונות:  * לעתים קרובות עדיף על התחום.
                                       * אינו מושפע מערכים קיצוניים של המשתנה.

                     חסרונות:  * לא תמיד אפשר לחשב אותו (למשל כאשר יש מספר מצומצם של נתונים).
                                       * אינו מבוסס על כל הנתונים.

   ג.  השונות וסטיית התקן           
                      יתרונות:  * אפשר לחשב אותן תמיד.
                                       * חישובן מבוסס על כל הנתונים.

                     חסרונות:  * לא תמיד קל לחשב אותן.
                                       * מושפעות מערכים קיצוניים של המשתנה.

למעלה

תרגילים

*4. הוכח שהנוסחה (2.3.8) שקולה לנוסחה (2.3.6).  
*שאלת רשות

5.  בסוף שנת 2004 התפרסמו הנתונים הבאים על המשכורות החודשיות בקרב עובדי המפעל  Alpha: המשכורת הממוצעת: 7,500 ש"ח; המשכורת החציונית: 7,400 ש"ח; המשכורת השכיחה: 7,300 ש"ח; תחום המשכורות: 35,000 ש"ח; סטיית התקן של המשכורות: 2,000 ש"ח. החל מתאריך 1.1.2005 מקבל כל עובד תוספת של 100 ש"ח למשכורתו החודשית.
חשב את ערכי המדדים הנ"ל לאחר עדכון המשכורות. נמק תשובתך.

6.  בסוף שנת 2004 התפרסמו גם הנתונים המאפיינים את המשכורות החודשיות בקרב עובדי המפעל Beta . מתברר שהמאפיינים (כלומר המשכורת הממוצעת, המשכורת החציונית, וכו') זהים לאלה של המפעל Alpha שבשאלה הקודמת. החל מתאריך 1.1.2005 מקבל כל עובד תוספת של % 5 למשכורתו החודשית. חשב את ערכי המדדים לאחר עדכון המשכורות. נמק תשובתך.

*7.  כיתה בת N  תלמידים ניגשה למבחן בפיזיקה. אחד התלמידים חלה ביום המבחן, כך שבפועל נבחנו רק  1 - N  תלמידים. לאחר בדיקת המבחנים הגיש המורה למזכירות את רשימת הציונים, גם את הציון הממוצע ואת סטיית התקן של הציונים.
לאחר שהתלמיד החלים ממחלתו, המורה בחן אותו, וציונו צורף לרשימת הציונים הכיתתית. התברר שהציון הזה היה שווה לציון הממוצע של יתר התלמידים.

הוכח כי:
     א.  הציון הממוצע הכיתתי לא ישתנה.
     ב.  סטיית התקן של הציונים תקטן.

*שאלת רשות

8.  "האגודה למען הילד" אוספת תרומות למען ילדים נזקקים. הטבלה הבאה מתארת את הסכומים
      שתרמו 200 משפחות שמתגוררות ביישוב קהילתי קטן במבצע ההתרמה האחרון:

 למעלה